釣鐘曲線は統計学全体で最も繰り返し登場するパターンです — 身長、IQ スコア、測定ノイズ、そして数十もの自然現象が平均の周りに集まり、左右対称に細くなっていきます。この記事ではまず直感を、それから実際に必要な公式を示します。

「正規」とは何を意味するのか

確率変数 $X$ が平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ で正規分布に従うとは、その密度が次の式に従うことです：

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

これを暗記する必要はありません。大切なのはその形です： $\mu$ を中心に左右対称で、そこにピークがあり、急速に下がっていき、2 シグマの時点ですでにかなり珍しい値になります。

なぜどこにでもあるのか？中心極限定理

その理由が中心極限定理（CLT）です。これは次のように述べます：多数の独立な無作為の影響の平均は、それぞれの影響がどんな形をしていても、正規分布に近づく。

たとえば身長は、何百もの遺伝的・環境的要因によって決まり、それぞれが小さく独立した寄与を加えます。その総和が釣鐘曲線に近づきます。

$\mu$ や $\sigma$ がいくつであっても、任意の 正規分布について：

これが経験則です。暗記しましょう — 試験問題のほとんどに 10 秒で答えられます。

アメリカの成人男性の身長は $\mu \approx 70$ インチ、 $\sigma \approx 3$ インチです。身長が 64 インチから 76 インチの間の男性はどれくらいの割合でしょうか？

その範囲は $70 \pm 6 = 70 \pm 2\sigma$ なので、95% です。

異なる正規分布どうしで値を比較するには、z 得点 に変換します：

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

z 得点は「平均から標準偏差いくつ分離れているか」です。これにより、参照表（または当サイトの計算機）を使って すべての 問題で 標準正規分布 $N(0, 1)$ を利用できます。

試験の得点 $x = 85$ が $N(75, 5)$ から得られたとします。その z 得点は $z = (85 - 75)/5 = 2$ です。経験則から、これを上回る得点はわずか $\approx 2.5\%$ しかありません。

正規分布ソルバーを使って正確な確率を計算しましょう — 表を目で読むより確実です。