不等式チートガイド：一次・連立・絶対値

不等式は最適化、工学の公差、そしてほとんどすべての現実世界の制約問題（「予算は～を超えてはならない」）に登場します。仕組みは方程式を解くのと似ていますが、1 つの決定的なひねりがあります。負の数で掛けたり割ったりすると不等号の向きが反転するのです。このガイドは、必要なすべての操作を 1 ページにまとめたものです。

一次不等式

一次方程式とまったく同じように扱います。ただし、両辺を負の数で掛けたり割ったりするたびに不等号を反転させます。

$-3x + 5 < 14$ を解きます：

1. 5 を引きます：$-3x < 9$。
2. $-3$ で割って反転させます：$x > -3$。

解の集合は開区間 $(-3, \infty)$ です。

連立不等式

連立不等式は、より単純な 2 つの不等式をかつ（共通部分）またはまたは（和集合）で組み合わせたものです。

$-1 \le 2x - 3 < 5$（「かつ」のサンドイッチ型）を解きます：

1. 3 つの部分すべてに 3 を足します：$2 \le 2x < 8$。
2. 2 で割ります：$1 \le x < 4$。

解：$[1, 4)$。

$x < -2$ または $x \ge 5$ のような「または」の不等式では、解は 2 つの互いに素な部分になります：$(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$。

絶対値不等式

コツ：$|A| < k$ は $-k < A < k$ に書き換えられ、$|A| > k$ は $A < -k$ または $A > k$ に書き換えられます。

$|2x - 1| \le 5$ を解きます：

1. 書き換え：$-5 \le 2x - 1 \le 5$。
2. 1 を足します：$-4 \le 2x \le 6$。
3. 2 で割ります：$-2 \le x \le 3$。解 $[-2, 3]$。

二次不等式

すべてを片側に移し、因数分解してから、各区間で符号を調べます。

$x^2 - x - 6 > 0$ を解きます：

1. 因数分解：$(x - 3)(x + 2) > 0$。
2. 根は数直線を 3 つの区間に分けます：$(-\infty, -2)$、$(-2, 3)$、$(3, \infty)$。
3. それぞれから 1 点を選んで調べます：$x = -3$ で積は正、$x = 0$ で負、$x = 4$ で正。
4. 解：$(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$。

よくある間違い

• 負の数で割るときに反転を忘れる――これが断トツで最大のミスです。
• 開いた括弧と閉じた括弧を取り違える：$<$ は丸括弧、$\le$ は角括弧を使います。
• $|A| < B$ の両辺をやみくもに 2 乗する：両辺が非負のときだけ有効です。

AI 不等式ソルバーで確認する

任意の不等式を不等式ソルバーに入力すると、ステップの全リストが表示されます――宿題のダブルチェックに最適です。

関連リファレンス：

• 方程式ソルバー — 同じ代数、等式バージョン
• 絶対値ソルバー — $|A| = k$ タイプの問題向け
• 二次方程式ソルバー — 上の二次の場合とセットで