Calcolatrice Seno Coseno Tangente

Le tre funzioni trigonometriche fondamentali — seno, coseno e tangente — mettono in relazione gli angoli con i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo:

$\sin\theta = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Sulla circonferenza goniometrica (raggio 1, centrata nell'origine), per un angolo $\theta$ misurato dal semiasse positivo delle $x$:

• $\cos\theta$ = coordinata $x$ del punto
• $\sin\theta$ = coordinata $y$ del punto
• $\tan\theta$ = coefficiente angolare del lato terminale

Proprietà chiave:

• $\sin$ e $\cos$ hanno codominio $[-1, 1]$ e periodo $2\pi$
• $\tan$ ha codominio $(-\infty, \infty)$ e periodo $\pi$
• $\tan\theta$ non è definita quando $\cos\theta = 0$ (in $\frac{\pi}{2} + n\pi$)

Le funzioni reciproche sono:
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

Queste sei funzioni costituiscono il fondamento della trigonometria e ricorrono in tutta la matematica, la fisica, l'ingegneria e l'elaborazione dei segnali.

Metodo 1: Circonferenza Goniometrica (Valori Esatti)

Memorizza gli angoli notevoli e le loro coordinate sulla circonferenza goniometrica:

Metodo 2: Angoli di Riferimento

Per angoli oltre il primo quadrante:

1. Trova l'angolo di riferimento (angolo acuto rispetto all'asse delle $x$)
2. Determina il segno in base al quadrante (regola ASTC: Tutte, Seno, Tangente, Coseno)

Regola ASTC — quali funzioni sono positive:

• Quadrante I (0° a 90°): Tutte positive
• Quadrante II (90° a 180°): Seno positivo
• Quadrante III (180° a 270°): Tangente positiva
• Quadrante IV (270° a 360°): Coseno positivo

Esempio: $\sin(150°)$ — L'angolo di riferimento è $180° - 150° = 30°$. Nel Quadrante II il seno è positivo: $\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Metodo 3: Formule di Addizione e Sottrazione

Per angoli non notevoli, scomponi in angoli noti:

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Esempio: $\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Metodo 4: Trasformazioni del Grafico

Per $y = A\sin(Bx + C) + D$:

• $|A|$ = ampiezza
• $\frac{2\pi}{|B|}$ = periodo
• $-\frac{C}{B}$ = sfasamento
• $D$ = traslazione verticale

Confronto: Quando Usare Ciascun Metodo

• Segno del quadrante errato: $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, non $+\frac{1}{2}$. Verifica sempre quale quadrante determina il segno.
• Confondere gradi e radianti: $\sin(\pi) = 0$ (radianti), ma $\sin(180) \approx -0{,}80$ se interpretato come 180 radianti. Sii coerente con le unità di misura.
• Dimenticare che la tangente non è definita: $\tan(90°)$ e $\tan(270°)$ non sono definite (asintoti verticali), non valgono zero né infinito.
• Applicare male la formula di addizione: $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$. Devi usare lo sviluppo corretto.
• Errori nell'angolo di riferimento: L'angolo di riferimento si misura sempre rispetto all'asse delle $x$ (non all'asse delle $y$), ed è sempre positivo e acuto.