Kit di sopravvivenza delle identità trigonometriche

Esistono decine di identità trigonometriche, ma nella pratica devi memorizzarne solo una dozzina circa — il resto si ricava in pochi secondi da quelle. Questa pagina è il kit di sopravvivenza: ogni identità che si guadagna il suo posto, con brevi esempi svolti per ciascuna.

Il trio pitagorico

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

La prima è l'identità più usata in tutta la matematica. Le altre due si ottengono dividendo entrambi i membri per $\cos^2$ o $\sin^2$.

Formule di addizione e sottrazione

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Mnemonica per il coseno: "cos cos meno sin sin" con segno opposto — il seno è "sin cos più cos sin" con lo stesso segno.

Formule di duplicazione

Sostituisci $\alpha = \beta = \theta$ nelle formule di addizione:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Esistono tre forme della versione per il coseno grazie all'identità pitagorica. Scegli quella che meglio si adatta al resto della tua espressione.

Formule di bisezione

Risolvendo la formula di duplicazione del coseno rispetto a $\sin^2$ e $\cos^2$ si ottiene:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Queste sono le identità di riduzione di potenza — sono il motivo per cui $\int \sin^2 x \, dx$ diventa elementare.

Esempio svolto: semplificazione

Semplifica $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Numeratore: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Denominatore: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Quoziente: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

L'intera espressione ingarbugliata si riduce a $\tan x$.

Errori comuni

• Errori di segno nelle formule di addizione — scrivi la formula per intero, non fidarti della memoria a metà problema.
• $\sin^2\theta$ significa $(\sin\theta)^2$, non $\sin(\sin\theta)$.
• Dimenticare che $2\theta$ è l'angolo, non 2 volte il valore — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, non $2\sin 30°$.

Prova con il solutore di trigonometria con IA

Il solutore di trigonometria prende qualsiasi espressione e applica tutte queste identità per semplificarla o risolverla.

Riferimenti correlati:

• Calcolatrice di semplificazione — le stesse idee di semplificazione, in versione polinomiale
• Calcolatrice di integrali — la riduzione di potenza è fondamentale per gli integrali trigonometrici
• Calcolatrice di serie — le espansioni di Taylor di sin e cos le usano direttamente