Calcolatrice di Trigonometria

Un'equazione trigonometrica è un'equazione che coinvolge funzioni trigonometriche ($\sin$, $\cos$, $\tan$, ecc.) di un angolo incognito. L'obiettivo è trovare tutti i valori dell'angolo che soddisfano l'equazione.

Poiché le funzioni trigonometriche sono periodiche, la maggior parte delle equazioni trigonometriche ha infinite soluzioni. Spesso esprimiamo le soluzioni in due forme:

1. Soluzioni principali: Soluzioni in un intervallo specifico, tipicamente $[0, 2\pi)$ o $[0°, 360°)$
2. Soluzioni generali: Tutte le soluzioni, scritte usando $+ 2n\pi$ (o $+ 360°n$) dove $n$ è un intero qualsiasi

Per esempio, $\sin x = \frac{1}{2}$ ha soluzioni principali $x = \frac{\pi}{6}$ e $x = \frac{5\pi}{6}$, e soluzioni generali $x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ e $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$.

Identità chiave usate per risolvere le equazioni trigonometriche:

• Pitagorica: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• Angolo doppio: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
• Formule di prostaferesi e di Werner

Metodo 1: Isolamento e Funzioni Inverse

Per equazioni semplici, isola la funzione trigonometrica e applica l'inversa:

$\sin x = a \implies x = \arcsin(a) \text{ e } x = \pi - \arcsin(a)$

$\cos x = a \implies x = \pm \arccos(a)$

$\tan x = a \implies x = \arctan(a) + n\pi$

Metodo 2: Scomposizione in Fattori

Quando l'equazione può essere scomposta in fattori:

$\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x(\sin x - 1) = 0$

Quindi $\sin x = 0$ oppure $\sin x = 1$, da cui $x = 0, \pi, \frac{\pi}{2}$ in $[0, 2\pi)$.

Metodo 3: Uso delle Identità per Semplificare

Sostituisci le espressioni complesse usando le identità:

Esempio: Risolvi $\cos 2x = \cos x$

Usando $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$2\cos^2 x - 1 = \cos x$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

Quindi $\cos x = -\frac{1}{2}$ oppure $\cos x = 1$.

Metodo 4: Sostituzione

Per equazioni con più funzioni trigonometriche, sostituisci $t = \sin x$ o $t = \cos x$:

$2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$

Usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0$ → $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Metodo 5: Elevamento al Quadrato di Entrambi i Membri (con verifica)

A volte utile, ma verifica sempre le soluzioni poiché l'elevamento al quadrato può introdurre radici estranee.

Riepilogo degli Angoli di Riferimento

Confronto tra i Metodi

• Dimenticare le soluzioni periodiche: $\sin x = 0{,}5$ ha due soluzioni per periodo, non una. Considera sempre tutti i quadranti in cui la funzione ha il segno dato.
• Dividere per una funzione trigonometrica: Dividere per $\sin x$ o $\cos x$ può far perdere le soluzioni in cui quella funzione vale zero. Scomponi in fattori invece.
• Non verificare le soluzioni estranee: Quando elevi al quadrato entrambi i membri, sostituisci sempre per verificare. L'elevamento al quadrato può introdurre soluzioni false.
• Confondere gradi e radianti: Assicura la coerenza. $\sin(30) \neq \sin(30°)$ nella maggior parte delle calcolatrici e dei contesti di programmazione.
• Ignorare le restrizioni del dominio: $\sin x = 2$ non ha soluzioni reali poiché $-1 \leq \sin x \leq 1$.