Calcolatrice del punteggio z

Un punteggio z (chiamato anche punteggio standardizzato) misura di quante deviazioni standard un valore è distante dalla media:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

dove $x$ è il valore grezzo, $\mu$ è la media della popolazione e $\sigma$ è la deviazione standard della popolazione.

Interpretazione:

• $z = 0$: il valore è uguale alla media.
• $z = 1$: una deviazione standard sopra la media.
• $z = -2$: due deviazioni standard sotto la media.
• $|z| > 2$ è convenzionalmente 'insolito'; $|z| > 3$ è 'estremo'.

Perché standardizzare?

• Confrontabilità: i punteggi z permettono di confrontare valori di distribuzioni diverse (ad es. un $z = 1.5$ in un test di matematica SAT vs un $z = 1.5$ in un test verbale indicano la stessa performance relativa).
• Ricerca di probabilità: se la distribuzione sottostante è approssimativamente normale, $z$ si traduce direttamente in una probabilità tramite la CDF normale standard $\Phi(z)$.
• Rilevamento di valori anomali: un $|z|$ grande segnala potenziali valori anomali.

Versione campionaria: quando si lavora con dati campionari, sostituisci $\mu$ con $\bar{x}$ e $\sigma$ con $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Passo per passo

1. Identifica il valore $x$, la media $\mu$ (o $\bar{x}$) e la deviazione standard $\sigma$ (o $s$).
2. Sottrai la media: $x - \mu$.
3. Dividi per la deviazione standard: $z = (x - \mu)/\sigma$.

Inverso: trovare $x$ da $z$

$x = \mu + z\sigma$

Utile quando viene dato un percentile e si chiede il corrispondente valore grezzo.

Probabilità tramite la normale standard

Per una variabile distribuita normalmente $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, la variabile standardizzata $Z = (X - \mu)/\sigma$ segue la normale standard $N(0, 1)$.

Probabilità comuni:

Simmetria: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

Regola empirica (68-95-99.7)

Per una distribuzione normale:

• ~68% dei valori cade entro $\pm 1\sigma$ dalla media.
• ~95% entro $\pm 2\sigma$.
• ~99.7% entro $\pm 3\sigma$.

Questo è il fondamento degli intervalli di confidenza e di molte stime rapide.

Valori z critici per gli intervalli di confidenza

Questi sono i valori $z^*$ tali che $P(-z^* < Z < z^*) =$ livello di confidenza.

• Ordine errato: $z = (x - \mu)/\sigma$, non $(\mu - x)/\sigma$. Mettere la media per seconda inverte il segno.
• Usare la varianza invece della deviazione standard: dividi per $\sigma$, non $\sigma^2$. Un valore 'a una varianza di distanza' è privo di senso — vuoi una deviazione standard.
• Campione vs popolazione: con dati campionari, usa $\bar{x}$ e $s$. Con parametri noti, usa $\mu$ e $\sigma$. Confonderli gonfia/sgonfia i punteggi z.
• Assumere la normalità senza verificarla: i punteggi z possono essere calcolati per qualsiasi distribuzione, ma la ricerca di probabilità $\Phi(z)$ vale solo se la distribuzione sottostante è normale (o approssimativamente tale per il TLC).
• Dimenticare il segno: $z = -2$ significa 'sotto la media.' Riportare $z = 2$ travisa la direzione.
• Confondere probabilità unilaterali e bilaterali: $P(|Z| > 2)$ è entrambe le code combinate ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ è una coda ($\approx 0.0228$). Leggi attentamente la domanda.