Calcolatrice dell'intervallo di confidenza

Un intervallo di confidenza (IC) è un intervallo di valori plausibili per un parametro sconosciuto della popolazione, costruito a partire dai dati campionari. Un intervallo di confidenza al 95% significa: se ripetessi la procedura di campionamento molte volte, circa il 95% degli intervalli costruiti conterrebbe il vero parametro.

Importante: il 95% si riferisce alla procedura, non a un singolo intervallo calcolato. Una volta costruito un intervallo dai dati, esso contiene o non contiene il vero parametro — ma non sappiamo quale dei due.

Struttura di base: ogni intervallo di confidenza ha la forma

$\text{stima} \pm \text{margine di errore}$

La stima è la statistica campionaria ($\bar{x}$ o $\hat{p}$). Il margine di errore è un valore critico per l'errore standard della stima.

Gli intervalli di confidenza compaiono in:

• Sondaggi elettorali ('52% di sostegno, $\pm 3\%$ di margine di errore')
• Studi medici (IC sulla dimensione dell'effetto)
• Controllo qualità (tasso medio di difetti)
• Ogni volta che vuoi quantificare l'incertezza in una stima, non solo riportare un valore puntuale.

IC per una media della popolazione (intervallo Z)

Quando la deviazione standard della popolazione $\sigma$ è nota e la distribuzione campionaria è approssimativamente normale ($n$ grande o popolazione normale):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

dove $z^*$ è il valore critico per il livello di confidenza scelto.

IC per una media della popolazione (intervallo T)

Quando $\sigma$ è sconosciuta (hai solo $s$, la deviazione standard campionaria) — molto più comune nella pratica:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Il valore critico $t^*$ proviene dalla distribuzione t con $n - 1$ gradi di libertà. Per $n$ grande ($\geq 30$), $t^* \approx z^*$ e i due intervalli sono molto simili.

IC per una proporzione della popolazione

Per una proporzione campionaria $\hat{p} = x/n$ (dove $x$ è il numero di successi):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

Valido quando $n\hat{p} \geq 10$ e $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (condizione successo-insuccesso).

Valori critici

Margine di errore

$\text{ME} = (\text{valore critico}) \times (\text{errore standard})$

Aumentare la dimensione del campione $n$ riduce l'errore standard (e quindi il margine di errore) di un fattore $\sqrt{n}$. Quadruplicare $n$ dimezza il margine di errore.

Scegliere il livello di confidenza

• Confidenza più alta = intervallo più ampio. Un IC al 99% è più ampio di uno al 95%, che è più ampio di uno al 90%.
• Il 95% è il valore predefinito nella maggior parte dei contesti accademici e professionali.
• 99% quando la posta in gioco è più alta (medico, sicurezza); 90% quando una stima puntuale più stretta conta più della copertura.

• Interpretare male il 95%: 'C'è una probabilità del 95% che la vera media sia in questo intervallo' è sbagliato (frequentista). L'affermazione corretta riguarda la procedura: il 95% degli intervalli costruiti in modo simile contiene il vero parametro.
• Usare z quando t è appropriato: con $\sigma$ sconosciuta, usa $t^*$. Usare $z^*$ sottostima l'incertezza, specialmente per $n$ piccolo.
• Dimenticare $\sqrt{n}$ nell'errore standard: $\sigma/\sqrt{n}$, non $\sigma/n$.
• Direzione errata del valore critico: $z^* = 1.96$ per il 95% (bilaterale), non il $z = 1.645$ del 95° percentile. Il valore critico bilaterale taglia $\alpha/2$ in ciascuna coda.
• Saltare la condizione successo-insuccesso per le proporzioni: se $n\hat{p}$ o $n(1-\hat{p}) < 10$, l'approssimazione normale non vale — usa un intervallo esatto (Clopper-Pearson) o basato sullo score.
• Confondere IC con intervallo di previsione: un IC al 95% stima la media con copertura del 95%. Un intervallo di previsione stima una singola osservazione futura — molto più ampio.