Guida rapida alle disequazioni: lineari, composte e con valore assoluto

Le disequazioni compaiono nell'ottimizzazione, nelle tolleranze ingegneristiche e in quasi ogni problema di vincolo del mondo reale ("il budget non deve superare…"). La meccanica è simile alla risoluzione delle equazioni, con una svolta cruciale: moltiplicare o dividere per un numero negativo inverte il segno della disequazione. Questa guida raccoglie in una sola pagina ogni mossa di cui hai bisogno.

Disequazioni lineari

Trattale esattamente come le equazioni lineari — tranne che devi invertire il segno ogni volta che moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo.

Risolvi $-3x + 5 < 14$:

1. Sottrai 5: $-3x < 9$.
2. Dividi per $-3$ e inverti: $x > -3$.

L'insieme delle soluzioni è l'intervallo aperto $(-3, \infty)$.

Disequazioni composte

Una disequazione composta combina due disequazioni più semplici con e (intersezione) oppure o (unione).

Risolvi $-1 \le 2x - 3 < 5$ (un "sandwich" con la "e"):

1. Aggiungi 3 a tutte e tre le parti: $2 \le 2x < 8$.
2. Dividi per 2: $1 \le x < 4$.

Soluzione: $[1, 4)$.

Per disequazioni con "o" come $x < -2$ o $x \ge 5$, la soluzione è formata da due parti disgiunte: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

Disequazioni con valore assoluto

Il trucco: $|A| < k$ si riscrive come $-k < A < k$, mentre $|A| > k$ si riscrive come $A < -k$ o $A > k$.

Risolvi $|2x - 1| \le 5$:

1. Riscrivi: $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. Aggiungi 1: $-4 \le 2x \le 6$.
3. Dividi per 2: $-2 \le x \le 3$. Soluzione $[-2, 3]$.

Disequazioni quadratiche

Porta tutto da una parte, scomponi in fattori, poi verifica il segno su ciascun intervallo.

Risolvi $x^2 - x - 6 > 0$:

1. Scomponi: $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. Le radici dividono la retta in tre intervalli: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$.
3. Verifica un punto di ciascuno: in $x = -3$ il prodotto è positivo; in $x = 0$ negativo; in $x = 4$ positivo.
4. Soluzione: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Errori comuni

• Dimenticare di invertire quando si divide per un numero negativo — l'errore più grande in assoluto.
• Confondere parentesi aperte e chiuse: $<$ usa le parentesi tonde, $\le$ usa le parentesi quadre.
• Elevare al quadrato entrambi i membri di $|A| < B$ alla cieca: valido solo quando entrambi i membri sono non negativi.

Verifica con il risolutore di disequazioni con IA

Digita una disequazione qualsiasi nel Risolutore di disequazioni e vedrai l'elenco completo dei passaggi — perfetto per ricontrollare i compiti.

Riferimenti correlati:

• Risolutore di equazioni — la stessa algebra, versione con uguaglianza
• Risolutore di valore assoluto — per problemi del tipo $|A| = k$
• Risolutore di equazioni quadratiche — abbinato al caso quadratico qui sopra