Calcolatrice del valore assoluto

Il valore assoluto di un numero reale $x$, scritto $|x|$, è la sua distanza da $0$ sulla retta numerica:

$|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}$

Proprietà fondamentali:

• $|x| \geq 0$ per ogni $x$, con uguaglianza se e solo se $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (moltiplicativa).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (disuguaglianza triangolare).
• $|x|^2 = x^2$, quindi $|x| = \sqrt{x^2}$.

Interpretazione geometrica: $|a - b|$ è la distanza tra i numeri $a$ e $b$ sulla retta numerica. È per questo che le disequazioni con valore assoluto si traducono in modo immediato in affermazioni sulla distanza.

Il valore assoluto si estende ai numeri complessi ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) e ai vettori (norma euclidea), ma qui ci concentriamo sul caso a valori reali usato nella maggior parte degli esercizi.

Tipo 1: Equazione con valore assoluto

$|f(x)| = c$ dove $c$ è una costante.

• Se $c < 0$: nessuna soluzione (il valore assoluto non può mai essere negativo).
• Se $c = 0$: risolvi $f(x) = 0$.
• Se $c > 0$: dividi in due casi: $f(x) = c$ oppure $f(x) = -c$. Risolvi ciascuno e mantieni tutte le soluzioni valide.

Esempio: $|2x - 3| = 7$ si divide in $2x - 3 = 7$ o $2x - 3 = -7$, dando $x = 5$ o $x = -2$.

Tipo 2: Disequazione del tipo «minore di»

$|f(x)| < c$ (oppure $\leq$) dove $c > 0$.

Equivale a: $-c < f(x) < c$ (una disequazione composta, AND).

Significato geometrico: $f(x)$ è a distanza minore di $c$ da $0$.

Esempio: $|2x + 1| < 7$ diventa $-7 < 2x + 1 < 7$, dando $-4 < x < 3$.

Se $c \leq 0$, non c'è soluzione (o solo $f(x) = 0$ se $c = 0$).

Tipo 3: Disequazione del tipo «maggiore di»

$|f(x)| > c$ (oppure $\geq$) dove $c \geq 0$.

Equivale a: $f(x) < -c$ oppure $f(x) > c$ (una disgiunzione, OR).

Esempio: $|3x - 6| \geq 9$ diventa $3x - 6 \leq -9$ o $3x - 6 \geq 9$, dando $x \leq -1$ o $x \geq 5$.

Se $c < 0$, ogni numero reale soddisfa la disequazione.

Caso insidioso: valore assoluto su entrambi i lati

$|f(x)| = |g(x)|$ si divide in $f(x) = g(x)$ oppure $f(x) = -g(x)$.

Verifica delle soluzioni

Sostituisci sempre nell'equazione originale. L'elevamento al quadrato o la suddivisione in casi possono introdurre soluzioni estranee in alcuni contesti.

• Tralasciare il caso negativo: $|x| = 5$ ha due soluzioni, $x = 5$ e $x = -5$. I principianti spesso scrivono solo quella positiva.
• Usare AND e OR al contrario: $|x| < c$ usa AND (tra $-c$ e $c$); $|x| > c$ usa OR (minore di $-c$ o maggiore di $c$). Scambiarli porta a risposte errate.
• Dimenticare che $c$ deve essere non negativo: $|f(x)| = -3$ non ha soluzione perché $|f(x)| \geq 0$ sempre.
• Confusione di segno nel caso negativo: $|2x - 3| = 7$ dà $2x - 3 = -7$, non $-(2x) - 3 = 7$. Si nega l'intera espressione posta uguale a $-c$.
• Soluzioni estranee non individuate: dopo aver risolto, sostituisci sempre nell'equazione originale. Se la struttura del valore assoluto richiedeva che $f(x)$ fosse non negativo, verificalo.