Kalkulator Selang Kepercayaan

Sebuah selang kepercayaan (SK) adalah rentang nilai yang masuk akal untuk parameter populasi yang tidak diketahui, dibangun dari data sampel. Selang kepercayaan 95% berarti: jika Anda mengulangi prosedur penyampelan berkali-kali, sekitar 95% dari selang yang dibangun akan memuat parameter sebenarnya.

Penting: angka 95% mengacu pada prosedur, bukan pada satu selang yang sudah dihitung. Begitu sebuah selang dibangun dari data, ia entah memuat atau tidak memuat parameter sebenarnya — tetapi kita tidak tahu yang mana.

Struktur inti: setiap selang kepercayaan berbentuk

$\text{taksiran} \pm \text{margin galat}$

Taksiran adalah statistik sampel ($\bar{x}$ atau $\hat{p}$). Margin galat adalah nilai kritis dikali galat baku dari taksiran.

Selang kepercayaan muncul dalam:

• Jajak pendapat pemilu ('dukungan 52%, margin galat $\pm 3\%$')
• Studi medis (SK ukuran efek)
• Kendali mutu (laju cacat rata-rata)
• Setiap kali Anda ingin mengukur ketidakpastian dalam suatu taksiran, bukan hanya melaporkan nilai titik.

SK untuk Rata-rata Populasi (Selang-Z)

Ketika simpangan baku populasi $\sigma$ diketahui dan distribusi penyampelan kira-kira normal ($n$ besar atau populasi normal):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

di mana $z^*$ adalah nilai kritis untuk tingkat kepercayaan yang dipilih.

SK untuk Rata-rata Populasi (Selang-T)

Ketika $\sigma$ tidak diketahui (Anda hanya memiliki $s$, simpangan baku sampel) — jauh lebih umum dalam praktik:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Nilai kritis $t^*$ berasal dari distribusi-t dengan $n - 1$ derajat kebebasan. Untuk $n$ besar ($\geq 30$), $t^* \approx z^*$ dan kedua selang sangat mirip.

SK untuk Proporsi Populasi

Untuk proporsi sampel $\hat{p} = x/n$ (di mana $x$ adalah jumlah keberhasilan):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

Berlaku ketika $n\hat{p} \geq 10$ dan $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (kondisi sukses-gagal).

Nilai Kritis

Margin Galat

$\text{MG} = (\text{nilai kritis}) \times (\text{galat baku})$

Memperbesar ukuran sampel $n$ memperkecil galat baku (dan oleh karena itu margin galat) dengan faktor $\sqrt{n}$. Melipatempatkan $n$ memangkas margin galat menjadi setengah.

Memilih Tingkat Kepercayaan

• Kepercayaan lebih tinggi = selang lebih lebar. SK 99% lebih lebar daripada SK 95%, yang lebih lebar daripada SK 90%.
• 95% adalah baku dalam sebagian besar konteks akademik dan profesional.
• 99% ketika risiko lebih tinggi (medis, keselamatan); 90% ketika taksiran titik yang lebih ketat lebih penting daripada cakupan.

• Salah menafsirkan angka 95%: 'Ada probabilitas 95% rata-rata sebenarnya berada dalam selang ini' adalah salah (frekuentis). Pernyataan yang benar adalah tentang prosedur: 95% selang yang dibangun secara serupa memuat parameter sebenarnya.
• Menggunakan z ketika t lebih sesuai: dengan $\sigma$ tidak diketahui, gunakan $t^*$. Menggunakan $z^*$ meremehkan ketidakpastian, terutama untuk $n$ kecil.
• Lupa $\sqrt{n}$ dalam galat baku: $\sigma/\sqrt{n}$, bukan $\sigma/n$.
• Arah nilai kritis yang salah: $z^* = 1.96$ untuk 95% (dua sisi), bukan $z = 1.645$ persentil ke-95. Nilai kritis dua sisi memotong $\alpha/2$ di setiap ekor.
• Melewatkan kondisi sukses-gagal untuk proporsi: jika $n\hat{p}$ atau $n(1-\hat{p}) < 10$, hampiran normal gagal — gunakan selang eksak (Clopper-Pearson) atau berbasis skor.
• Mengacaukan SK dengan selang prediksi: SK 95% menaksir rata-rata dengan cakupan 95%. Selang prediksi menaksir satu observasi mendatang — jauh lebih lebar.