Peluang mengukur ketidakpastian. Kabar baiknya: sebagian besar soal pekerjaan rumah pada akhirnya bermuara pada sekumpulan kecil aturan dan kemauan untuk mencacah dengan teliti. Panduan ini mencakup fondasi yang Anda butuhkan sebelum beralih ke distribusi, uji hipotesis, atau inferensi Bayes.

Apa arti "peluang"

Peluang suatu kejadian $A$ adalah

$P(A) = \frac{\text{hasil yang menguntungkan}}{\text{total hasil}}$

dengan asumsi semua hasil sama mungkinnya. $P(A) \in [0, 1]$ :

$0$ = mustahil.
$1$ = pasti.
$0{,}5$ = lemparan koin.

Untuk hasil yang tidak sama mungkinnya, Anda memberikan bobot pada setiap hasil (inilah yang dilakukan distribusi peluang).

Tiga aturan inti

Aturan penjumlahan (peluang A atau B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Kurangi irisannya agar Anda tidak menghitung ganda. Jika $A$ dan $B$ saling lepas (tidak bisa terjadi keduanya), irisannya nol.

Contoh: mengambil sebuah kartu dari satu set 52 kartu, $P(\text{King atau Hati}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$ . (Satu kartu adalah King sekaligus Hati, karena itu ada pengurangan.)

Aturan perkalian (peluang A dan B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Jika $A$ dan $B$ saling bebas (yang satu tidak memengaruhi yang lain), $P(B | A) = P(B)$ , sehingga menyederhana menjadi $P(A) \cdot P(B)$ .

Contoh: melempar dua dadu, $P(\text{keduanya 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$ . (Lemparan saling bebas.)

Peluang bersyarat

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Peluang $B$ dengan syarat $A$ telah terjadi. Fondasi teorema Bayes dan sebagian besar statistika inferensial.

Contoh: kartu yang diambil adalah kartu bergambar. Berapa peluang kartu itu King?

$P(\text{King dan kartu bergambar}) = 4/52$ .
$P(\text{kartu bergambar}) = 12/52$ .
$P(\text{King | bergambar}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$ .

Mencacah: permutasi dan kombinasi

Untuk $n$ benda dipilih $r$ :

Permutasi (urutan diperhitungkan): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ .
Kombinasi (urutan tidak diperhitungkan): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ .

Keputusannya adalah "apakah menukar dua benda yang saya pilih memberi hasil yang berbeda?":

Ya (mis. medali emas vs perak) → permutasi.
Tidak (mis. memilih panitia beranggotakan 5 orang) → kombinasi.

Contoh yang dikerjakan: lotre

Pilih 6 angka dari 49. Urutan pada tiket Anda tidak diperhitungkan — kombinasi.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

Jadi $P(\text{memenangkan jackpot 6 angka}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7{,}15 \times 10^{-8}$ .

Saling bebas vs saling lepas (jangan dikacaukan!)

Saling bebas: mengetahui $A$ tidak mengubah $P(B)$ . Lemparan koin saling bebas.
Saling lepas: $A$ dan $B$ tidak bisa terjadi keduanya. Lemparan dadu tidak bisa sekaligus 1 dan 2.

Dua kejadian bisa yang satu, yang lain, keduanya, atau tidak keduanya. Keduanya bukan konsep yang sama, walaupun sering dikacaukan.

Kesalahan umum

Kekeliruan penjudi: "Saya sudah melempar 5 kali sisi muka berturut-turut, jadi yang berikutnya pasti sisi belakang." Lemparan koin saling bebas — masa lalu tidak mengubah peluang di masa depan.
Menjumlahkan peluang yang tidak saling lepas tanpa mengurangi irisannya. $P(\text{King}) + P(\text{Hati}) \neq P(\text{King atau Hati})$ .
Mencampuradukkan $P(A | B)$ dengan $P(B | A)$ . Kekeliruan jaksa yang klasik: "Dengan syarat terdakwa tidak bersalah, peluang bukti ini kecil; maka dengan syarat ada bukti ini, peluang ketidakbersalahan kecil." Secara logika keliru tanpa menerapkan teorema Bayes.

Coba sendiri

Masukkan soal peluang apa pun ke Kalkulator Peluang — penjumlahan, perkalian, bersyarat, dengan kombinatorika. AI memandu Anda di setiap langkah.

Terkait:

Dasar-Dasar Peluang: Aturan, Kombinatorika, dan Contoh

Pengantar peluang yang jelas — definisi, aturan penjumlahan / perkalian / bersyarat, permutasi dan kombinasi, serta contoh yang dikerjakan.