Kalkulator Rumus Jarak

Rumus jarak menghitung jarak garis lurus antara dua titik dalam ruang koordinat. Rumus ini adalah konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh pemisahan horizontal dan vertikal antara titik-titik tersebut.

Bentuk 2D — untuk titik $P_1 = (x_1, y_1)$ dan $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Bentuk 3D — untuk titik $(x_1, y_1, z_1)$ dan $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Bentuk $n$-dimensi (jarak Euclidean):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

Ini menggeneralisasi secara alami ke sembarang banyak dimensi, itulah sebabnya ia menjadi konsep 'jarak' andalan dalam fisika, statistika, dan pembelajaran mesin.

Langkah demi Langkah

1. Beri label titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$. Penetapan mana pun bisa — rumusnya simetris.
2. Hitung selisih: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Kuadratkan: $(\Delta x)^2$ dan $(\Delta y)^2$.
4. Jumlahkan: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. Tarik akar kuadrat: $d = \sqrt{\text{jumlah}}$.
6. Sederhanakan bentuk akar jika memungkinkan (mis., $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

Penurunan Geometris

Gambar ruas horizontal dari $(x_1, y_1)$ ke $(x_2, y_1)$ — panjang $|x_2 - x_1|$.
Gambar ruas vertikal dari $(x_2, y_1)$ ke $(x_2, y_2)$ — panjang $|y_2 - y_1|$.
Ruas asli adalah sisi miring segitiga siku-siku dengan kedua kaki ini, sehingga menurut teorema Pythagoras:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Menarik akar kuadrat memberikan rumus jarak. Nilai mutlak tidak diperlukan karena pengkuadratan menghilangkan tanda.

Rumus Terkait

• Titik tengah: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — rata-rata koordinat.
• Kemiringan: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — menggunakan selisih yang sama dengan rumus jarak.
• Jarak titik ke titik asal: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (kasus khusus dengan $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

Jarak Manhattan / Taksi (Untuk Perbandingan)

Perhatikan bahwa rumus di atas adalah jarak Euclidean. Jarak Manhattan $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ mengukur perjalanan pada kisi (tanpa diagonal). Keduanya metrik yang berbeda — pastikan Anda tahu yang mana yang diinginkan soal Anda.

• Lupa mengkuadratkan: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. Pengkuadratan (dan akar kuadrat) sangat penting.
• Kesalahan tanda: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, sehingga urutan pengurangan tidak berpengaruh — tetapi hanya karena pengkuadratan. Jangan menghilangkan kuadrat karena Anda 'melihat' selisihnya.
• Lupa menarik akar kuadrat: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ adalah $d^2$, bukan $d$. Banyak siswa berhenti satu langkah terlalu dini.
• Tidak menyederhanakan bentuk akar: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Membiarkannya sebagai $\sqrt{8}$ secara teknis benar tetapi biasanya dikurangi nilainya pada ujian.
• Mencampur 2D dan 3D: Jika soal Anda dalam 3D, sertakan suku $(z_2 - z_1)^2$. Jika 2D, jangan mengarang suku $z$.