Permutasi vs kombinasi

Permutasi dan kombinasi terlihat hampir identik sampai Anda mengajukan satu pertanyaan: apakah urutan penting? Salah di sini dan jawaban probabilitas Anda akan meleset dengan faktor $r!$ atau lebih. Berikut perbedaan jelasnya dengan contoh terselesaikan.

Pertanyaan inti: apakah urutan penting?

• Ya, urutan penting → permutasi. Memilih posisi ke-1 / ke-2 / ke-3 dari 10 pelari.
• Tidak, urutan tidak penting → kombinasi. Memilih komite 5 orang dari 20 orang.

10 kandidat yang sama bisa memberi jawaban berbeda tergantung apakah perannya berbeda.

Rumusnya

Untuk $n$ benda, pilih $r$:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Perhatikan kombinasi adalah permutasi dibagi $r!$ — $r!$ itu menghilangkan pengurutan benda yang dipilih, karena kombinasi tidak peduli urutan.

Contoh terselesaikan

Permutasi: podium balapan

Sepuluh pelari, tiga posisi medali (emas, perak, perunggu). Urutan penting — emas ≠ perak.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Kombinasi: angka lotre

Pilih 6 angka dari 49 — urutan di tiket Anda tidak penting.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Angka sama, jawaban berbeda

Pilih 3 huruf dari {A, B, C, D}.

• Sebagai permutasi (kata sandi 3 huruf): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... semuanya berbeda.
• Sebagai kombinasi (sekadar memilih 3 huruf): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

Faktor $3! = 6$ di antara keduanya adalah persis $r!$ dalam rumus.

Pintasan keputusan

Jika ragu, tanyakan: "Jika saya menukar dua benda pilihan saya, apakah hasilnya berbeda?"

• Ya → permutasi
• Tidak → kombinasi

Memilih kapten dan wakil kapten → menukar mengubah siapa kaptennya → permutasi.
Memilih 2 orang untuk duo → menukar tetap duo yang sama → kombinasi.

Kesalahan umum

• Mencampur keduanya saat probabilitas terlibat. Penyebut (total hasil) dan pembilang (hasil yang diharapkan) harus memakai metode pencacahan yang sama.
• Melupakan pembagi $r!$. Jika Anda menghitung permutasi padahal ingin kombinasi, Anda akan menghitung berlebih dengan faktor $r!$.
• Benda dapat dibedakan vs tidak dapat dibedakan. Jika beberapa benda identik (mis. 5 bola merah dan 3 biru), tidak ada rumus sederhana yang berlaku — Anda perlu koefisien multinomial $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

Coba sendiri

Gunakan Kalkulator Probabilitas kami untuk menghitung permutasi, kombinasi, dan menerapkannya pada soal probabilitas nyata dengan AI yang memandu Anda di setiap langkah.