Integral parsial: panduan praktis dengan contoh

Integral parsial adalah aturan hasil kali yang dijalankan terbalik, dan merupakan teknik integral yang paling sering digunakan setelah substitusi. Rumusnya pendek, tetapi memilih bagian mana yang menjadi "u" dan mana yang menjadi "dv" menjadi sebuah seni saat pertama kali Anda melihatnya. Panduan ini membahas pintasan LIATE dan lima contoh yang semakin sulit, sehingga Anda selesai dengan metode yang andal alih-alih coba-coba.

Rumusnya

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Tukar satu integral dengan integral lain yang (semoga) lebih mudah. Seninya ada pada pemilihan $u$ dan $dv$ — pilihan yang buruk membuat integral baru menjadi lebih sulit.

LIATE: aturan praktis yang andal

Saat memilih $u$, utamakan fungsi yang lebih awal pada daftar ini:

Logaritmik > Trigonometri Invers > Aljabar > Trigonometri > Eksponensial

Apa pun yang tersisa menjadi $dv$. LIATE bukanlah teorema, tetapi berfungsi untuk ~90% soal buku teks.

Contoh 1: $\int x e^x \, dx$ (aljabar × eksponensial)

LIATE → aljabar sebelum eksponensial, jadi $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Terapkan: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Contoh 2: $\int x \ln x \, dx$ (aljabar × logaritmik)

LIATE → logaritma dulu: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Sederhanakan: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Contoh 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (aljabar × trigonometri — terapkan dua kali)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Maka $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Tahap pertama: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Tahap kedua pada $\int 2x \cos x \, dx$: misalkan $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Maka $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Gabungkan: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Ketika Anda melihat polinomial berderajat $n$ dikalikan dengan $\sin/\cos/\exp$, perkirakan menerapkan aturan ini sebanyak $n$ kali.

Contoh 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (trik perulangan)

Kedua faktor sama-sama kandidat yang "baik" — tak satu pun menjadi lebih sederhana saat diintegralkan atau dideferensiasikan. Terapkan dua kali dan perhatikan integral semula muncul kembali, lalu selesaikan secara aljabar.

• Tahap pertama: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Tahap kedua pada integral baru: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Substitusikan kembali: semula $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ semula.
• Selesaikan: $2 \cdot \text{semula} = e^x (\cos x + \sin x)$, jadi semula $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Contoh 5: $\int \ln x \, dx$ (kasus "tidak ada dv yang jelas")

Tampak seakan tidak ada yang bisa diintegralkan sebagai $dv$. Trik: gunakan $dv = dx$ (yaitu "$1$" pada $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Trik yang sama ini menangani $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$, dan yang serupa.

Kesalahan umum

1. Kesalahan tanda. Rumusnya memiliki satu tanda minus — gunakan kertas coretan untuk melacak $+/-$.
2. Salah memilih $u$. Jika integral baru lebih sulit daripada yang semula, Anda memilih $u$ dan $dv$ secara terbalik. Tukarlah keduanya.
3. Lupa "+ C" pada integral tak tentu.
4. Memakai integral parsial padahal substitusi akan berhasil. Integral parsial untuk hasil kali yang tidak cocok dengan pola substitusi-u. Jika $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, gunakan substitusi.

Coba sendiri

Masukkan integral apa pun ke Kalkulator Integral dan kami akan menunjukkan apakah substitusi, integral parsial, atau pecahan parsial adalah langkah yang tepat — plus setiap langkahnya.

Untuk contoh terkerjakan tertentu dan topik terkait:

• Contoh terkerjakan: ∫ x² dx
• Contoh terkerjakan: ∫ sin(x) dx
• Lembar contekan rumus kalkulus
• Menguasai Aturan Rantai — sepupu dalam diferensiasi