Z-स्कोर कैलकुलेटर

एक z-स्कोर (जिसे मानक स्कोर भी कहते हैं) मापता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

जहाँ $x$ कच्चा मान है, $\mu$ समष्टि माध्य है, और $\sigma$ समष्टि मानक विचलन है।

व्याख्या:

• $z = 0$: मान माध्य के बराबर है।
• $z = 1$: माध्य से एक मानक विचलन ऊपर।
• $z = -2$: माध्य से दो मानक विचलन नीचे।
• $|z| > 2$ परिपाटी से 'असामान्य' है; $|z| > 3$ 'चरम' है।

मानकीकरण क्यों?

• तुलनीयता: z-स्कोर आपको भिन्न बंटनों के मानों की तुलना करने देते हैं (जैसे, एक SAT गणित परीक्षा पर $z = 1.5$ बनाम एक मौखिक परीक्षा पर $z = 1.5$ का अर्थ समान सापेक्ष प्रदर्शन है)।
• प्रायिकता खोज: यदि अंतर्निहित बंटन लगभग प्रसामान्य हो, तो $z$ मानक प्रसामान्य CDF $\Phi(z)$ के माध्यम से सीधे एक प्रायिकता में मानचित्रित होता है।
• बहिष्थ संसूचन: बड़ा $|z|$ संभावित बहिष्थों को चिह्नित करता है।

प्रतिदर्श संस्करण: प्रतिदर्श डेटा से काम करते समय, $\mu$ को $\bar{x}$ से और $\sigma$ को $s$ से बदलें:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

चरण-दर-चरण

1. मान $x$, माध्य $\mu$ (या $\bar{x}$), और मानक विचलन $\sigma$ (या $s$) पहचानें।
2. माध्य घटाएँ: $x - \mu$।
3. मानक विचलन से भाग दें: $z = (x - \mu)/\sigma$।

व्युत्क्रम: $z$ से $x$ ज्ञात करना

$x = \mu + z\sigma$

उपयोगी जब एक शतमक दिया हो और संगत कच्चे मान के लिए पूछा जाए।

मानक प्रसामान्य के माध्यम से प्रायिकता

एक प्रसामान्य रूप से बंटित चर $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ के लिए, मानकीकृत चर $Z = (X - \mu)/\sigma$ मानक प्रसामान्य $N(0, 1)$ का अनुसरण करता है।

सामान्य प्रायिकताएँ:

सममिति: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$।

आनुभविक नियम (68-95-99.7)

एक प्रसामान्य बंटन के लिए:

• ~68% मान माध्य के $\pm 1\sigma$ के भीतर आते हैं।
• ~95% $\pm 2\sigma$ के भीतर।
• ~99.7% $\pm 3\sigma$ के भीतर।

यह विश्वास अंतरालों और कई त्वरित आकलनों की नींव है।

विश्वास अंतरालों के लिए क्रांतिक Z-मान

ये वे मान $z^*$ हैं जिनके लिए $P(-z^* < Z < z^*) =$ विश्वास स्तर।

• गलत क्रम: $z = (x - \mu)/\sigma$, न कि $(\mu - x)/\sigma$। माध्य को दूसरे स्थान पर रखने से चिह्न पलट जाता है।
• मानक विचलन के बजाय प्रसरण का प्रयोग: $\sigma$ से भाग दें, $\sigma^2$ से नहीं। 'एक प्रसरण दूर' मान निरर्थक है — आपको एक मानक विचलन चाहिए।
• प्रतिदर्श बनाम समष्टि: प्रतिदर्श डेटा के साथ, $\bar{x}$ और $s$ का प्रयोग करें। ज्ञात प्राचलों के साथ, $\mu$ और $\sigma$ का प्रयोग करें। इन्हें मिलाने से z-स्कोर बढ़/घट जाते हैं।
• जाँचे बिना प्रसामान्यता मानना: z-स्कोर किसी भी बंटन के लिए परिकलित किए जा सकते हैं, परंतु प्रायिकता खोज $\Phi(z)$ केवल तभी लागू होती है यदि अंतर्निहित बंटन प्रसामान्य हो (या CLT द्वारा लगभग वैसा)।
• चिह्न भूलना: $z = -2$ का अर्थ 'माध्य से नीचे' है। $z = 2$ बताना दिशा का गलत प्रतिनिधित्व करता है।
• एकपुच्छ और द्विपुच्छ प्रायिकताओं को भ्रमित करना: $P(|Z| > 2)$ दोनों पुच्छें संयुक्त हैं ($\approx 0.0456$)। $P(Z > 2)$ एक पुच्छ है ($\approx 0.0228$)। प्रश्न सावधानी से पढ़ें।