P-मान कैलकुलेटर

एक p-मान परीक्षण परिणामों को वास्तविक परिणामों जितना चरम, या उससे अधिक चरम — यह मानते हुए कि शून्य परिकल्पना $H_0$ सत्य है — प्रेक्षित करने की प्रायिकता है।

औपचारिक रूप से, प्रेक्षित मान $t$ वाली परीक्षण सांख्यिकी $T$ के लिए:

• दायाँ-पुच्छ: $p = P(T \geq t \mid H_0)$
• बायाँ-पुच्छ: $p = P(T \leq t \mid H_0)$
• द्विपुच्छ: $p = 2 \cdot P(T \geq |t| \mid H_0)$

व्याख्या: एक छोटा p-मान का अर्थ है कि प्रेक्षित डेटा आश्चर्यजनक होगा यदि $H_0$ सत्य होती, अतः हमारे पास $H_0$ के विरुद्ध साक्ष्य है। एक बड़ा p-मान का अर्थ है कि डेटा $H_0$ के अनुरूप है — परंतु यह सिद्ध नहीं करता कि $H_0$ सत्य है।

निर्णय नियम: $p$ की तुलना पूर्व-चुने गए सार्थकता स्तर $\alpha$ (आमतौर पर 0.05) से करें:

• $p < \alpha$ → $H_0$ अस्वीकृत करें ('सांख्यिकीय रूप से सार्थक')
• $p \geq \alpha$ → $H_0$ अस्वीकृत करने में विफल (पर्याप्त साक्ष्य नहीं)

p-मान क्या नहीं है:

• यह नहीं है कि $H_0$ सत्य होने की प्रायिकता।
• यह नहीं है कि वैकल्पिक $H_1$ सत्य होने की प्रायिकता।
• यह प्रभाव आकार का माप नहीं है।
• यह 'व्यावहारिक सार्थकता' को 'सांख्यिकीय सार्थकता' से विभेदित नहीं करता।

चरण-दर-चरण

1. परिकल्पनाएँ $H_0$ और $H_1$ बताएँ।
2. डेटा के लिए उपयुक्त एक परीक्षण चुनें (z-परीक्षण, t-परीक्षण, काई-वर्ग, F-परीक्षण, ...)।
3. डेटा से परीक्षण सांख्यिकी परिकलित करें।
4. $H_1$ के आधार पर पुच्छ(पुच्छों) का निर्धारण करें: दायाँ-पुच्छ ($>$), बायाँ-पुच्छ ($<$), या द्विपुच्छ ($\neq$)।
5. परीक्षण के बंटन से p-मान ज्ञात करें।
6. $\alpha$ से तुलना करें और निष्कर्ष निकालें।

Z-सांख्यिकी से p-मान

एक मानक प्रसामान्य $Z$ के लिए:

• दायाँ-पुच्छ: $p = 1 - \Phi(z)$
• बायाँ-पुच्छ: $p = \Phi(z)$
• द्विपुच्छ: $p = 2(1 - \Phi(|z|))$

त्वरित संदर्भ: $z = 1.96$ → द्विपुच्छ $p \approx 0.05$। $z = 2.576$ → द्विपुच्छ $p \approx 0.01$।

T-सांख्यिकी से p-मान

$n - 1$ स्वातंत्र्य कोटि वाले t-बंटन का प्रयोग करें (या परीक्षण द्वारा निर्दिष्ट अनुसार)। z के समान पुच्छ तर्क, परंतु छोटे df के लिए बंटन की पुच्छें थोड़ी भारी होती हैं।

काई-वर्ग सांख्यिकी से p-मान

काई-वर्ग परीक्षण स्वाभाविक रूप से दायाँ-पुच्छ होते हैं क्योंकि $\chi^2 \geq 0$ और बड़े मान $H_0$ के साथ खराब अनुकूलन दर्शाते हैं:

$p = P(\chi^2_{df} \geq \text{प्रेक्षित})$

एकपुच्छ बनाम द्विपुच्छ: किसका प्रयोग करें?

• द्विपुच्छ: जब आप $H_0$ से किसी भी दिशा में विचलन की परवाह करते हैं। अधिकांश अकादमिक संदर्भों में पूर्वनिर्धारित।
• एकपुच्छ: जब वैकल्पिक परिकल्पना दिशिक और पूर्व-निर्दिष्ट हो ($H_1: \mu > 0$, न कि $\mu \neq 0$)। दिशा मेल खाने पर p-मान को आधा कर देता है।

डेटा देखने के बाद कभी पुच्छ न चुनें — वह p-हैकिंग है।

सामान्य सार्थकता प्रवेशसीमाएँ

अमेरिकन सांख्यिकीय संघ ने $\alpha = 0.05$ को एक स्पष्ट रेखा मानने के विरुद्ध चेतावनी दी है — संदर्भ और प्रभाव आकार किसी प्रवेशसीमा को पार करने से अधिक मायने रखते हैं।

• 'p-मान $H_0$ के सत्य होने की प्रायिकता है': गलत। p-मान $H_0$ के सत्य होने को मानते हुए परिकलित होता है; यह नहीं मापता कि $H_0$ कितनी संभावित है।
• $p = 0.049$ और $p = 0.051$ को मूलतः भिन्न मानना: ये नहीं हैं। 0.05 प्रवेशसीमा एक परिपाटी है, एक प्रावस्था संक्रमण नहीं।
• डेटा देखने के बाद पुच्छ चुनना: यदि आप $z = -2$ देखते हैं और एक बायाँ-पुच्छ परीक्षण पर स्विच करते हैं, तो आपने अपनी मिथ्या-धनात्मक दर दोगुनी कर दी है। पूर्व-निर्दिष्ट करें।
• सार्थकता को प्रभाव आकार से भ्रमित करना: एक विशाल प्रतिदर्श के साथ एक छोटा प्रभाव 'अत्यधिक सार्थक' हो सकता है फिर भी व्यावहारिक रूप से अप्रासंगिक। हमेशा p-मानों के साथ प्रभाव आकार दें।
• बहु तुलना मुद्रास्फीति: $\alpha = 0.05$ पर 20 परीक्षण चलाने पर, संयोग से एक मिथ्या धनात्मक प्रत्याशित है। बोनफेरोनी या FDR सुधारों का प्रयोग करें।
• '$p > 0.05$ $H_0$ सिद्ध करता है': नहीं। अस्वीकृत करने में विफल होना स्वीकार करने के समान नहीं है। इसका बस अर्थ है कि इस प्रतिदर्श आकार पर डेटा में $H_0$ के विरुद्ध पर्याप्त साक्ष्य नहीं है।