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आयतन कैलकुलेटर

घनों, गोलों, बेलनों, शंकुओं, और अधिक का आयतन परिकलित करें
Volume of a sphere with radius 6
Volume of a cone with radius 4 and height 9
Volume of a cube with side length 5

आयतन क्या है?

आयतन एक ठोस आकृति के भीतर घिरे त्रिविमीय स्थान का माप है। यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: "यह वस्तु कितना स्थान घेरती है?" या "यह पात्र कितना समा सकता है?"

आयतन घन इकाइयों में व्यक्त किया जाता है (जैसे, cm3\text{cm}^3, m3\text{m}^3, ft3\text{ft}^3) या क्षमता इकाइयों में (लीटर, गैलन)।

आयतन क्यों मायने रखता है

  • अभियांत्रिकी: टंकियों, पाइपों, और पात्रों का आकार निर्धारित करना
  • चिकित्सा: खुराक और अंग आकार परिकलित करना
  • जहाजरानी: माल स्थान और पैकेजिंग निर्धारित करना
  • पाक कला: सामग्री मापना
  • निर्माण: कंक्रीट, बजरी, या भराव का आकलन

आयतन की इकाइयाँ

इकाईसंक्षेपणपरिवर्तन
घन सेंटीमीटरcm3\text{cm}^31 cm3=1 mL1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{mL}
घन मीटरm3\text{m}^31 m3=1000 L1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{L}
लीटरL1 L=1000 cm31\,\text{L} = 1000\,\text{cm}^3
घन फुटft3\text{ft}^31 ft3≈28.317 L1\,\text{ft}^3 \approx 28.317\,\text{L}
गैलन (US)gal1 gal≈3.785 L1\,\text{gal} \approx 3.785\,\text{L}

आयतन कैसे परिकलित करें

सामान्य 3D आकृतियों के लिए आयतन सूत्र

आकृतिसूत्रचर
घनV=s3V = s^3ss = भुजा की लंबाई
आयताकार प्रिज़्मV=l×w×hV = l \times w \times hll = लंबाई, ww = चौड़ाई, hh = ऊँचाई
गोलाV=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3rr = त्रिज्या
बेलनV=πr2hV = \pi r^2 hrr = त्रिज्या, hh = ऊँचाई
शंकुV=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 hrr = त्रिज्या, hh = ऊँचाई
पिरामिडV=13BhV = \frac{1}{3} B hBB = आधार क्षेत्रफल, hh = ऊँचाई

घन

सभी भुजाएँ बराबर हैं:

V=s3V = s^3

उदाहरण: भुजा s=5s = 5 वाले एक घन का आयतन V=53=125V = 5^3 = 125 घन इकाई है।

गोला

एक पूर्णतः गोल 3D आकृति:

V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3

उदाहरण: त्रिज्या r=6r = 6 वाले एक गोले का आयतन V=43π(6)3=43π(216)=288π≈904.78V = \frac{4}{3}\pi(6)^3 = \frac{4}{3}\pi(216) = 288\pi \approx 904.78 घन इकाई है।

बेलन

एक बेलन मूलतः ऊँचाई hh तक बहिर्वेधित एक वृत्त है:

V=πr2hV = \pi r^2 h

यह बस आधार क्षेत्रफल (πr2\pi r^2) गुणा ऊँचाई (hh) है।

उदाहरण: r=3r = 3 और h=10h = 10 वाले एक बेलन का आयतन V=π(3)2(10)=90π≈282.74V = \pi(3)^2(10) = 90\pi \approx 282.74 घन इकाई है।

शंकु

एक शंकु समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन का एक-तिहाई होता है:

V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h

उदाहरण: r=4r = 4 और h=9h = 9 वाले एक शंकु का आयतन V=13π(4)2(9)=13π(144)=48π≈150.80V = \frac{1}{3}\pi(4)^2(9) = \frac{1}{3}\pi(144) = 48\pi \approx 150.80 घन इकाई है।

आकृतियों के बीच संबंध

  • एक शंकु समान आधार त्रिज्या और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का ठीक 13\frac{1}{3} होता है
  • एक गोला का आयतन उस शंकु के समान होता है जिसकी ऊँचाई 4r4r और आधार त्रिज्या rr हो (क्योंकि 43πr3=13πr2(4r)\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 (4r))
  • एक अर्धगोला उसे घेरने वाले बेलन का ठीक 23\frac{2}{3} होता है

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • त्रिज्या और व्यास को भ्रमित करना — हमेशा जाँचें कि आपको त्रिज्या दी गई है या व्यास। यदि व्यास दिया हो, तो आयतन सूत्रों का प्रयोग करने से पहले 2 से भाग दें।
  • शंकुओं और पिरामिडों के लिए 13\frac{1}{3} गुणनखंड भूलना — एक शंकु बेलन के समान आयतन का नहीं होता। 13\frac{1}{3} गुणनखंड क्रमिक संकुचन का हिसाब रखता है।
  • लंब ऊँचाई के बजाय तिर्यक ऊँचाई का प्रयोग — शंकुओं और पिरामिडों के लिए, सूत्र को ऊर्ध्वाधर (लंब) ऊँचाई चाहिए, सतह के अनुदिश तिर्यक ऊँचाई नहीं।
  • घन बनाम वर्ग त्रुटियाँ — एक गोले के लिए, त्रिज्या का घन होता है (r3r^3); एक बेलन के लिए, त्रिज्या का वर्ग (r2r^2) फिर ऊँचाई से गुणा होता है। इन्हें मिलाने से अत्यंत गलत उत्तर मिलते हैं।
  • इकाई परिवर्तन त्रुटियाँ — घन इकाइयों को परिवर्तित करते समय, रैखिक परिवर्तन गुणक का घन करना याद रखें। उदाहरण के लिए, 1 m3=(100 cm)3=1,000,000 cm31\,\text{m}^3 = (100\,\text{cm})^3 = 1{,}000{,}000\,\text{cm}^3, न कि 100 cm3100\,\text{cm}^3।

Examples

Step 1: गोला सूत्र का प्रयोग करें: V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3
Step 2: प्रतिस्थापित करें: V=43π(6)3=43π(216)V = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi (216)
Step 3: V=288π≈904.78 cm3V = 288\pi \approx 904.78\,\text{cm}^3
Answer: V=288π≈904.78 cm3V = 288\pi \approx 904.78\,\text{cm}^3

Step 1: बेलन सूत्र का प्रयोग करें: V=πr2hV = \pi r^2 h
Step 2: प्रतिस्थापित करें: V=π(3)2(10)=π⋅9⋅10V = \pi (3)^2 (10) = \pi \cdot 9 \cdot 10
Step 3: V=90π≈282.74 cm3V = 90\pi \approx 282.74\,\text{cm}^3
Answer: V=90π≈282.74 cm3V = 90\pi \approx 282.74\,\text{cm}^3

Step 1: शंकु सूत्र का प्रयोग करें: V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h
Step 2: प्रतिस्थापित करें: V=13π(4)2(9)=13π(16)(9)V = \frac{1}{3}\pi (4)^2 (9) = \frac{1}{3}\pi (16)(9)
Step 3: V=144π3=48π≈150.80 m3V = \frac{144\pi}{3} = 48\pi \approx 150.80\,\text{m}^3
Answer: V=48π≈150.80 m3V = 48\pi \approx 150.80\,\text{m}^3

Frequently Asked Questions

आयतन वह कुल स्थान है जो कोई वस्तु घेरती है (घन सेंटीमीटर जैसी घन इकाइयों में मापा जाता है), जबकि क्षमता वह मात्रा है जो एक पात्र समा सकता है (लीटर या गैलन जैसी इकाइयों में मापा जाता है)। ये संबंधित हैं: 1 लीटर 1000 घन सेंटीमीटर के बराबर है।

बेलन के समान आधार त्रिज्या और ऊँचाई वाला एक शंकु ठीक एक-तिहाई आयतन समाता है। इसे कलन (समाकलन) के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है या एक शंकु को पानी से तीन बार भरकर संगत बेलन भरने से प्रदर्शित किया जा सकता है।

अनियमित आकृतियों के लिए, आप जल विस्थापन का उपयोग कर सकते हैं (वस्तु को डुबोएँ और जल स्तर परिवर्तन मापें), आकृति को सरल ठोसों में विभाजित करें और उनके आयतन जोड़ें, या किसी अक्ष के अनुदिश अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफलों को समाकलित करने हेतु कलन का प्रयोग करें।

रैखिक परिवर्तन गुणक का घन करें। उदाहरण के लिए, चूँकि 1 मीटर 100 सेंटीमीटर के बराबर है, 1 घन मीटर 100 घन, अर्थात् 1,000,000 घन सेंटीमीटर के बराबर है। इसी तरह, 1 घन फुट 12 घन, अर्थात् 1,728 घन इंच के बराबर है।

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