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आंशिक अवकलज कैलकुलेटर

AI-संचालित चरण-दर-चरण समाधानों के साथ आंशिक अवकलज, मिश्रित आंशिक, और प्रवणताएँ परिकलित करें

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partial of x^2*y + sin(y) w.r.t. x
second partial of e^(xy) w.r.t. x then y
gradient of f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2
partial of ln(x^2+y^2) with respect to x

आंशिक अवकलज क्या है?

एक आंशिक अवकलज मापता है कि एक बहुचर फलन एक चर के सापेक्ष कैसे बदलता है जबकि अन्य स्थिर रखे जाते हैं। f(x,y)f(x, y) के लिए:

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}

संकेतन ∂\partial (घुमावदार d) आंशिक अवकलजों को साधारण अवकलजों ddx\frac{d}{dx} से अलग करता है। समतुल्य संकेतनों में fxf_x, ∂xf\partial_x f, DxfD_x f शामिल हैं।

ज्यामितीय अर्थ: ∂f∂x(a,b)\frac{\partial f}{\partial x}(a, b), (a,b)(a,b) पर xx-दिशा में पृष्ठ z=f(x,y)z = f(x,y) की प्रवणता है — स्पर्श रेखा समतल y=by = b में होती है।

यह क्यों मायने रखता है: प्रवणता अवरोह, इष्टतमीकरण, त्रुटि प्रसार, और अधिकांश सदिश कलन आंशिक अवकलजों पर टिके हैं। प्रवणता ∇f=(fx,fy,fz)\nabla f = (f_x, f_y, f_z) सर्वाधिक तीव्र आरोह की दिशा में संकेत करती है।

आंशिक अवकलज कैसे परिकलित करें

नियम 1: अन्य चरों को अचर मानें

∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} ज्ञात करने के लिए, y,z,…y, z, \ldots को अचर मानें और ff का xx के एकचर फलन के रूप में अवकलन करें।

उदाहरण: f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y

  • ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy (3y3y लुप्त हो जाता है क्योंकि इसमें कोई xx नहीं)
  • ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3 (x2x^2 एक गुणांक की तरह कार्य करता है)

नियम 2: श्रृंखला नियम और गुणनफल नियम अभी भी लागू

f(x,y)=sin⁡(xy)f(x, y) = \sin(xy) के लिए:

∂f∂x=cos⁡(xy)⋅y\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y

xyxy का xx के सापेक्ष अवकलन करते समय कोष्ठक के अंदर का yy एक अचर गुणांक के रूप में माना जाता है।

उच्च-कोटि आंशिक

fxx=∂2f∂x2,fxy=∂2f∂y∂xf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

क्लेरो की प्रमेय (मिश्रित आंशिक): यदि ff के संतत द्वितीय आंशिक हों, तो fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}। अवकलन का क्रम मायने नहीं रखता।

प्रवणता और दिशिक अवकलज

प्रवणता सभी प्रथम आंशिकों का सदिश है:

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)

दिशा u\mathbf{u} (इकाई सदिश) में दिशिक अवकलज है:

Duf=∇f⋅uD_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

यह तब अधिकतम होता है जब u\mathbf{u}, ∇f\nabla f के अनुदिश संकेत करता है — यह सर्वाधिक तीव्र आरोह दिशा है।

श्रृंखला नियम (बहुचर)

यदि z=f(x,y)z = f(x, y) और x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t):

dzdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • गलत चर का अवकलन करना: हमेशा पहचानें कि कौन सा चर 'सक्रिय' है और कौन से स्थिर रखे गए हैं। अपने रफ़ कार्य में सक्रिय चर को रेखांकित करना मदद करता है।
  • श्रृंखला नियम भूलना: ∂∂xsin⁡(xy)=ycos⁡(xy)\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy), केवल cos⁡(xy)\cos(xy) नहीं।
  • संकेतन में भ्रम: fxyf_{xy} का अर्थ है पहले xx के सापेक्ष अवकलन, फिर yy (कुछ पुस्तकें इसे उलट देती हैं — परिपाटी जाँचें)।
  • गलत प्रवणता दिशा: ∇f\nabla f, सर्वाधिक तीव्र आरोह की दिशा में संकेत करता है, गति की नहीं। न्यूनतम करने के लिए, ∇f\nabla f के विपरीत चलें।
  • आंशिक और पूर्ण अवकलजों को मिलाना: जब xx और yy दोनों tt पर निर्भर हों, श्रृंखला नियम का प्रयोग करें — ∂f/∂t\partial f/\partial t नहीं, जो शून्य है यदि ff में कोई स्पष्ट tt न हो।

Examples

Step 1: ∂f/∂x\partial f/\partial x के लिए: yy को अचर मानें। ∂f/∂x=2xy+0=2xy\partial f/\partial x = 2xy + 0 = 2xy
Step 2: ∂f/∂y\partial f/\partial y के लिए: xx को अचर मानें। ∂f/∂y=x2+3y2\partial f/\partial y = x^2 + 3y^2
Answer: fx=2xyf_x = 2xy, fy=x2+3y2f_y = x^2 + 3y^2

Step 1: प्रथम आंशिक: fx=yexyf_x = y e^{xy}, fy=xexyf_y = x e^{xy}
Step 2: fxx=∂/∂x(yexy)=y⋅y⋅exy=y2exyf_{xx} = \partial/\partial x (y e^{xy}) = y \cdot y \cdot e^{xy} = y^2 e^{xy}
Step 3: fyy=∂/∂y(xexy)=x⋅x⋅exy=x2exyf_{yy} = \partial/\partial y (x e^{xy}) = x \cdot x \cdot e^{xy} = x^2 e^{xy}
Step 4: fxy=∂/∂y(yexy)=exy+y⋅x⋅exy=(1+xy)exyf_{xy} = \partial/\partial y (y e^{xy}) = e^{xy} + y \cdot x \cdot e^{xy} = (1 + xy)e^{xy}
Step 5: क्लेरो सत्यापित करें: fyx=∂/∂x(xexy)=exy+x⋅y⋅exy=(1+xy)exyf_{yx} = \partial/\partial x (x e^{xy}) = e^{xy} + x \cdot y \cdot e^{xy} = (1 + xy)e^{xy} ✓
Answer: fxx=y2exyf_{xx} = y^2 e^{xy}, fyy=x2exyf_{yy} = x^2 e^{xy}, fxy=fyx=(1+xy)exyf_{xy} = f_{yx} = (1+xy)e^{xy}

Step 1: ∂f/∂x=2x\partial f/\partial x = 2x, ∂f/∂y=2y\partial f/\partial y = 2y, ∂f/∂z=2z\partial f/\partial z = 2z
Step 2: ∇f=(2x,2y,2z)\nabla f = (2x, 2y, 2z)
Step 3: (1,2,2)(1, 2, 2) पर मान निकालें: ∇f(1,2,2)=(2,4,4)\nabla f(1,2,2) = (2, 4, 4)
Answer: ∇f(1,2,2)=(2,4,4)\nabla f(1,2,2) = (2, 4, 4)

Frequently Asked Questions

एक साधारण अवकलज df/dx एकचर फलनों पर लागू होता है। एक आंशिक अवकलज ∂f/∂x बहुचर फलनों पर लागू होता है और एक चर के सापेक्ष परिवर्तन की दर मापता है जबकि अन्य स्थिर रखे जाते हैं।

यदि किसी फलन f(x,y) के संतत द्वितीय-कोटि आंशिक अवकलज हों, तो मिश्रित आंशिक बराबर होते हैं: f_xy = f_yx। उस स्थिति में अवकलन का क्रम मायने नहीं रखता।

प्रवणता एक सदिश है जो किसी बिंदु पर f के सर्वाधिक तीव्र आरोह की दिशा में संकेत करती है। इसका परिमाण उस बिंदु पर परिवर्तन की अधिकतम दर है। यह f के स्तर वक्रों और स्तर पृष्ठों के लंबवत भी होती है।

प्रवणता अवरोह मॉडल प्राचलों के सापेक्ष हानि फलन की प्रवणता (आंशिकों का सदिश) का उपयोग करता है। एल्गोरिथम हानि न्यूनतम करने के लिए प्राचलों को ऋणात्मक प्रवणता दिशा में अद्यतन करता है।

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