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लाप्लास रूपांतरण कैलकुलेटर

AI-संचालित चरण-दर-चरण समाधानों के साथ लाप्लास और प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण ज्ञात करें

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Laplace transform of e^(2t)*sin(3t)
Laplace transform of t^2
inverse Laplace of 1/(s^2 + 4)
inverse Laplace of s/((s-1)(s+2))

लाप्लास रूपांतरण क्या है?

लाप्लास रूपांतरण समय के एक फलन f(t)f(t) को सम्मिश्र आवृत्ति के एक फलन F(s)F(s) में परिवर्तित करता है:

F(s)=L{f(t)}=∫0∞e−stf(t) dtF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt

रूपांतरण किसी दक्षिणी अर्ध-समतल Re⁡(s)>σ\operatorname{Re}(s) > \sigma में ss के लिए परिभाषित होता है जहाँ समाकल अभिसारी हो।

यह क्यों उपयोगी है: लाप्लास अवकलन को ss से गुणन में बदल देता है, अचर गुणांकों वाले रैखिक ODE को ss में बीजगणितीय समीकरणों में परिणत करता है। आप बीजगणित हल करते हैं, फिर समय प्रांत में उत्तर पाने के लिए प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण लेते हैं।

लाप्लास रूपांतरण असंतत और आवेगी निवेशों (सोपान फलन, डिराक डेल्टा) को भी सुंदरता से संभालते हैं, जो उन्हें नियंत्रण सिद्धांत, संकेत प्रसंस्करण, और विद्युत अभियांत्रिकी में अपरिहार्य बनाता है।

लाप्लास रूपांतरण कैसे परिकलित करें

मूल रूपांतरण युग्म

मूल सारणी याद करें:

f(t)f(t)F(s)=L{f(t)}F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}
111s\dfrac{1}{s}
tnt^nn!sn+1\dfrac{n!}{s^{n+1}}
eate^{at}1s−a\dfrac{1}{s - a}
sin⁡(ωt)\sin(\omega t)ωs2+ω2\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}
cos⁡(ωt)\cos(\omega t)ss2+ω2\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}
u(t−a)u(t - a) (सोपान)e−ass\dfrac{e^{-as}}{s}
δ(t−a)\delta(t - a)e−ase^{-as}

मुख्य गुणधर्म

रैखिकता:

L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)

प्रथम विस्थापन (s-विस्थापन):

L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)

इसी तरह eatsin⁡(ωt)→ω(s−a)2+ω2e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2} होता है।

tt-प्रांत में अवकलन:

L{f′(t)}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)

L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)

यही ODE को बीजगणित में बदलता है: अवकलज F(s)F(s) से गुणित ss में बहुपद बन जाते हैं, जिनमें प्रारंभिक स्थितियाँ समाहित होती हैं।

tt से गुणन:

L{tf(t)}=−F′(s)\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)

प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण

F(s)F(s) दिया हो, f(t)f(t) ज्ञात करें जैसा कि L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)। मानक तकनीकें:

  1. आंशिक भिन्न: F(s)F(s) को सारणी से मेल खाते सरल परिमेय भागों में वियोजित करें।
  2. वर्ग पूर्ण करना: 1s2+bs+c\frac{1}{s^2 + bs + c} रूपों के लिए, विस्थापित ज्या सारणी प्रविष्टि से मेल हेतु 1(s−a)2+ω2\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2} के रूप में पुनर्लिखित करें।
  3. देखें और संयोजित करें रैखिकता का उपयोग करके।

लाप्लास से ODE हल करना

y′′+3y′+2y=e−ty'' + 3y' + 2y = e^{-t}, y(0)=0,y′(0)=1y(0) = 0, y'(0) = 1 के लिए:

  1. लाप्लास लागू करें: s2Y−s⋅0−1+3(sY−0)+2Y=1s+1s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}
  2. YY के लिए हल करें: Y(s2+3s+2)=1+1s+1Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}, अतः Y=s+2(s+1)(s2+3s+2)=1(s+1)2Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2} (सरलीकरण के बाद)।
  3. प्रतिलोम लें: y(t)=te−ty(t) = t e^{-t}।

स्वच्छ और यांत्रिक — प्राचल विचरण से वही समस्या दोगुना कार्य लेती है।

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • प्रारंभिक स्थितियाँ भूलना: L{f′}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)। f(0)f(0) छोड़ना सबसे सामान्य एकल त्रुटि है।
  • s-विस्थापन में गलत चिह्न: L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a), न कि F(s+a)F(s + a)। चिह्न महत्वपूर्ण है।
  • असंततताओं का गलत प्रबंधन: सोपान निवेशों के लिए, इकाई-सोपान फलन u(t−a)u(t-a) और समय-विस्थापन प्रमेय L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s) का प्रयोग करें।
  • आंशिक भिन्न के बिना प्रतिलोम रूपांतरण: 1(s−1)(s+2)\frac{1}{(s-1)(s+2)} सीधे प्रतिलोम नहीं होता — पहले वियोजित करें।
  • F(s)F(s) को L−1{F}\mathcal{L}^{-1}\{F\} से भ्रमित करना: F(s)F(s) रूपांतरण है, f(t)f(t) मूल है। ODE समस्याओं को हमेशा समय प्रांत में वापस समाप्त करें।

Examples

Step 1: नियम L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a) का प्रयोग करें जहाँ f(t)=tf(t) = t, a=2a = 2
Step 2: L{t}=1/s2\mathcal{L}\{t\} = 1/s^2, अतः F(s)=1/s2F(s) = 1/s^2
Step 3: s-विस्थापन लागू करें: L{te2t}=1/(s−2)2\mathcal{L}\{t e^{2t}\} = 1/(s-2)^2
Answer: 1(s−2)2\dfrac{1}{(s - 2)^2}

Step 1: सारणी से तुलना करें: L{sin⁡(ωt)}=ω/(s2+ω2)\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \omega / (s^2 + \omega^2)
Step 2: यहाँ ω2=4\omega^2 = 4 अतः ω=2\omega = 2
Step 3: अचर समायोजित करें: 1s2+4=12⋅2s2+4\frac{1}{s^2+4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^2+4}
Step 4: अतः L−1{1/(s2+4)}=12sin⁡(2t)\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+4)\} = \frac{1}{2}\sin(2t)
Answer: 12sin⁡(2t)\dfrac{1}{2}\sin(2t)

Step 1: आंशिक भिन्न: s(s−1)(s+2)=As−1+Bs+2\frac{s}{(s-1)(s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+2}
Step 2: गुणा करें: s=A(s+2)+B(s−1)s = A(s+2) + B(s-1)
Step 3: s=1s = 1 रखें: 1=3A1 = 3A, अतः A=1/3A = 1/3
Step 4: s=−2s = -2 रखें: −2=−3B-2 = -3B, अतः B=2/3B = 2/3
Step 5: प्रत्येक भाग को प्रतिलोम करें: 13et+23e−2t\frac{1}{3}e^t + \frac{2}{3}e^{-2t}
Answer: 13et+23e−2t\dfrac{1}{3}e^t + \dfrac{2}{3}e^{-2t}

Frequently Asked Questions

लाप्लास रूपांतरण तब विद्यमान होता है जब समाकल ∫₀^∞ e^(-st)f(t) dt अभिसारी हो। इसके लिए सामान्यतः आवश्यक है कि f, t → ∞ पर चरघातांकी से तेज़ न बढ़े, और Re(s) फलन की चरघातांकी कोटि से अधिक हो।

लाप्लास रूपांतरण [0, ∞) पर कर्नेल e^(-st) के साथ समाकलन करता है जहाँ s सम्मिश्र है; यह प्रारंभिक-मान समस्याओं और चरघातांकी रूप से बढ़ते निवेशों को संभालता है। फूरिए रूपांतरण (-∞, ∞) पर कर्नेल e^(-iωt) के साथ समाकलन करता है; यह अनंत पर क्षयित होने वाले फलनों की स्थायी-स्थिति आवृत्ति अंश को संभालता है।

चूँकि ℒ{f'} = sF(s) - f(0), t में अवकलन s-प्रांत में s से गुणन बन जाता है। अचर गुणांकों वाला एक रैखिक ODE s में एक बहुपद समीकरण बन जाता है, जिसे आप बीजगणितीय रूप से हल करते हैं।

परिमेय F(s) के लिए जहाँ अंश की घात हर की घात से कम हो, हाँ — आंशिक भिन्न और मानक सारणी का उपयोग करके। अपरिमेय F(s) के लिए, प्रतिलोम के लिए परिरेखा समाकलन (ब्रोमविच समाकल) की आवश्यकता हो सकती है या कोई संवृत रूप नहीं हो सकता।

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