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अनुचित समाकल कैलकुलेटर

AI चरण-दर-चरण समाधानों का उपयोग करके अनंत सीमाओं या अपरिबद्ध समाकल्यों वाले अनुचित समाकलों का मान निकालें

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∑Math Input
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

अनुचित समाकल क्या है?

एक अनुचित समाकल एक निश्चित समाकल है जहाँ या तो:

  1. अंतराल अनंत है: जैसे, ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx या ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. समाकल्य में एक उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है अंतराल के अंदर या किसी अंतबिंदु पर: जैसे, ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

दोनों स्थितियों में, मानक रीमान समाकल अपरिभाषित है, परंतु हम कभी-कभी सीमाओं का उपयोग करके एक परिमित मान निर्धारित कर सकते हैं।

यदि सीमा विद्यमान है और परिमित है, तो अनुचित समाकल अभिसारी होता है। यदि सीमा अनंत है या विद्यमान नहीं है, तो समाकल अपसारी होता है।

अनुचित समाकल प्रायिकता (सामान्यीकरण अचर), लाप्लास और फूरिए रूपांतरण, और श्रेणी अभिसरण परीक्षणों के केंद्र में हैं।

अनुचित समाकलों का मान कैसे निकालें

प्रकार 1: अनंत अंतराल

अनंत को एक सीमा से बदलें:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

दोनों सीमाएँ अनंत होने पर, किसी भी सुविधाजनक बिंदु cc पर विभाजित करें:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

दोनों भाग स्वतंत्र रूप से अभिसारी होने चाहिए — अन्यथा पूरा समाकल अपसारी होता है।

प्रकार 2: अपरिबद्ध समाकल्य

यदि ff, [a,b][a, b] के अंदर x=cx = c पर अपरिबद्ध है, तो विभाजित करें और सीमाएँ लें:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

यदि विचित्रता x=ax = a पर है:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

pp-परीक्षण

∫1∞1xp dxअभिसारी यदि p>1, अपसारी यदि p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{अभिसारी यदि } p > 1, \text{ अपसारी यदि } p \leq 1

∫011xp dxअभिसारी यदि p<1, अपसारी यदि p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{अभिसारी यदि } p < 1, \text{ अपसारी यदि } p \geq 1

क्रांतिक घातांक p=1p = 1 है। दोनों स्थितियों के लिए विपरीत अभिसरण नियमों पर ध्यान दें।

तुलना परीक्षण

यदि अंतराल पर 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x):

  • ∫g\int g अभिसारी ⇒∫f\Rightarrow \int f अभिसारी
  • ∫f\int f अपसारी ⇒∫g\Rightarrow \int g अपसारी

उपयोगी जब समाकल स्वयं कठिन हो परंतु सीमा आसान हो।

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • ∞\infty को संख्या मानना: आप ∞\infty को 'प्रतिस्थापित' नहीं कर सकते। आपको एक सीमा का उपयोग करना होगा।
  • आंतरिक विचित्रताएँ छूटना: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx में अंतराल के अंदर 00 पर एक विचित्रता है। सरलता से मान निकालने पर 00 मिलता है (गलत) — समाकल वास्तव में अपसारी है।
  • 'निरस्त' होने वाले खंडवार अनुचित समाकल जोड़ना: ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — दोनों भाग अपसारी हैं, अतः समाकल अपसारी है। 'मुख्य मान' एक भिन्न (दुर्बल) धारणा है।
  • गलत pp-परीक्षण दिशा: ∞\infty पर, 1/xp1/x^p p>1p > 1 के लिए अभिसारी है। 00 पर, यह p<1p < 1 के लिए अभिसारी है। ये विपरीत हैं — दोनों याद रखें।
  • समाकलन से पहले अभिसरण सत्यापित करना भूलना: एक अपसारी अनुचित समाकल का कोई मान नहीं होता। हमेशा पहले अभिसरण जाँचें।

Examples

Step 1: सीमा को लिमिट से बदलें: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: प्रतिअवकलज परिकलित करें: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: सीमाएँ लागू करें: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: जब t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0, अतः सीमा 11 के बराबर है
Answer: 11 (अभिसारी)

Step 1: p=1p = 1 के साथ pp-परीक्षण लागू करें: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx अभिसारी है यदि और केवल यदि p>1p > 1
Step 2: यहाँ p=1p = 1, अतः समाकल अपसारी है
Step 3: सीमा द्वारा सत्यापित करें: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: अपसारी

Step 1: x=0x = 0 पर विचित्रता। 00 पर pp-परीक्षण का प्रयोग करें: 1/xp1/x^p अभिसारी है यदि और केवल यदि p<1p < 1
Step 2: यहाँ p=1/2<1p = 1/2 < 1, अतः यह अभिसारी है
Step 3: परिकलित करें: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (अभिसारी)

Frequently Asked Questions

एक अनुचित समाकल अभिसारी होता है यदि उसे परिभाषित करने वाली सीमा परिमित हो। अन्यथा यह अपसारी होता है, जिसका अर्थ है कि वक्र के नीचे का क्षेत्रफल या तो अनंत है या अपरिभाषित है।

p-परीक्षण [1, ∞) या (0, 1] पर ∫1/x^p रूप के समाकलों पर लागू होता है। यह तुलना के रूप में सबसे उपयोगी है: यदि आपका समाकल्य अनंतस्पर्शी रूप से 1/x^p जैसा व्यवहार करता है, तो आप अभिसरण शीघ्रता से निर्धारित कर सकते हैं।

एक अनुचित समाकल निरपेक्ष रूप से अभिसारी होता है यदि ∫|f| अभिसारी हो। यह सशर्त रूप से अभिसारी होता है यदि ∫f अभिसारी हो परंतु ∫|f| अपसारी हो। निरपेक्ष अभिसरण कठोरता से प्रबल है।

हाँ — क्षेत्रफल अनंत हो सकता है। ∫_1^∞ 1/x dx आदर्श उदाहरण है: वक्र y = 1/x [1, ∞) पर हर जगह धनात्मक है, फिर भी नीचे का क्षेत्रफल अनंत है (अपसारी)।

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