द्विसमाकल कैलकुलेटर

एक द्विसमाकल किसी फलन $f(x, y)$ का द्विविमीय क्षेत्र $D$ पर संचयन परिकलित करता है:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

जहाँ $dA$ अतिसूक्ष्म क्षेत्रफल अवयव है। कार्तीय निर्देशांकों में $dA = dx\,dy$; ध्रुवीय निर्देशांकों में $dA = r\,dr\,d\theta$।

सामान्य भौतिक अर्थ:

• $f(x,y) = 1$ से $D$ का क्षेत्रफल मिलता है।
• $f(x,y) = h(x,y)$ (ऊँचाई फलन) से $D$ के ऊपर पृष्ठ $z = h(x,y)$ के नीचे आयतन मिलता है।
• $f = \rho(x,y)$ (पृष्ठीय घनत्व) से एक पतली प्लेट का द्रव्यमान मिलता है।

मुख्य कौशल हैं: निर्देशांक चुनना, सीमाएँ स्थापित करना, और फुबिनी प्रमेय का उपयोग करके पुनरावृत्त एकल समाकलों के रूप में मान निकालना।

फुबिनी प्रमेय

एक आयत $D = [a, b] \times [c, d]$ पर एक संतत $f$ के लिए:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

कोई भी क्रम काम करता है, अतः वह चुनें जिसे समाकलन करना आसान हो।

प्रकार I और प्रकार II क्षेत्र

प्रकार I ($y$, $x$ के वक्रों से परिबद्ध):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

प्रकार II ($x$, $y$ के वक्रों से परिबद्ध):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

ध्रुवीय निर्देशांक

वृत्तीय सममिति वाले क्षेत्रों के लिए, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$ का प्रयोग करें:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

याकोबियन से $r$ का गुणनखंड अनिवार्य है — इसे भूलना सबसे सामान्य त्रुटि है।

समाकलन का क्रम कब बदलें

यदि एक आंतरिक समाकल असाध्य हो जाए (जैसे, $\int e^{x^2}\,dx$ का कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं), तो समाकलन का क्रम बदलने से अक्सर समस्या हल योग्य बन जाती है। दूसरे क्रम में समतुल्य सीमाएँ ज्ञात करने के लिए पहले क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ।

• गलत सीमा क्रम: आंतरिक सीमाएँ बाहरी चरों पर निर्भर हो सकती हैं, परंतु बाहरी सीमाएँ अचर होनी चाहिए। उलटा = गलत उत्तर।
• ध्रुवीय याकोबियन भूलना: $dA = r\,dr\,d\theta$, न कि $dr\,d\theta$।
• क्षेत्र का रेखाचित्र न बनाना: अनायताकार $D$ के लिए, एक रेखाचित्र प्रकार I बनाम प्रकार II को स्पष्ट कर देता है।
• असंभव आंतरिक फलनों का समाकलन करने का प्रयास: यदि आप $\int e^{x^2}\,dx$ या समान अप्रारंभिक समाकल्य से टकराएँ, तो हार मानने से पहले क्रम बदलें।
• ऋणात्मक समाकल्यों के साथ चिह्न त्रुटियाँ: यदि $f$, $D$ पर चिह्न बदलता है, तो द्विसमाकल शून्य हो सकता है — यह सही है, 'सुधारने' की गलती नहीं।