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द्विसमाकल कैलकुलेटर

AI-संचालित चरण-दर-चरण समाधानों के साथ आयताकार, सामान्य, या ध्रुवीय क्षेत्रों पर द्विसमाकल का मान निकालें

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double integral of x*y over [0,1]x[0,2]
double integral of x^2+y^2 over unit disk in polar
double integral of e^(x+y) over [0,1]x[0,1]
double integral of y dA over triangle with vertices (0,0),(1,0),(0,1)

द्विसमाकल क्या है?

एक द्विसमाकल किसी फलन f(x,y)f(x, y) का द्विविमीय क्षेत्र DD पर संचयन परिकलित करता है:

∬Df(x,y) dA\iint_D f(x,y)\,dA

जहाँ dAdA अतिसूक्ष्म क्षेत्रफल अवयव है। कार्तीय निर्देशांकों में dA=dx dydA = dx\,dy; ध्रुवीय निर्देशांकों में dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta।

सामान्य भौतिक अर्थ:

  • f(x,y)=1f(x,y) = 1 से DD का क्षेत्रफल मिलता है।
  • f(x,y)=h(x,y)f(x,y) = h(x,y) (ऊँचाई फलन) से DD के ऊपर पृष्ठ z=h(x,y)z = h(x,y) के नीचे आयतन मिलता है।
  • f=ρ(x,y)f = \rho(x,y) (पृष्ठीय घनत्व) से एक पतली प्लेट का द्रव्यमान मिलता है।

मुख्य कौशल हैं: निर्देशांक चुनना, सीमाएँ स्थापित करना, और फुबिनी प्रमेय का उपयोग करके पुनरावृत्त एकल समाकलों के रूप में मान निकालना।

द्विसमाकलों का मान कैसे निकालें

फुबिनी प्रमेय

एक आयत D=[a,b]×[c,d]D = [a, b] \times [c, d] पर एक संतत ff के लिए:

∬Df dA=∫ab∫cdf(x,y) dy dx=∫cd∫abf(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy

कोई भी क्रम काम करता है, अतः वह चुनें जिसे समाकलन करना आसान हो।

प्रकार I और प्रकार II क्षेत्र

प्रकार I (yy, xx के वक्रों से परिबद्ध):

D={(x,y):a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}

∬Df dA=∫ab∫g1(x)g2(x)f(x,y) dy dx\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx

प्रकार II (xx, yy के वक्रों से परिबद्ध):

D={(x,y):c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y)}D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}

∬Df dA=∫cd∫h1(y)h2(y)f(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy

ध्रुवीय निर्देशांक

वृत्तीय सममिति वाले क्षेत्रों के लिए, x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta का प्रयोग करें:

∬Df(x,y) dA=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

याकोबियन से rr का गुणनखंड अनिवार्य है — इसे भूलना सबसे सामान्य त्रुटि है।

समाकलन का क्रम कब बदलें

यदि एक आंतरिक समाकल असाध्य हो जाए (जैसे, ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx का कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं), तो समाकलन का क्रम बदलने से अक्सर समस्या हल योग्य बन जाती है। दूसरे क्रम में समतुल्य सीमाएँ ज्ञात करने के लिए पहले क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ।

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

  • गलत सीमा क्रम: आंतरिक सीमाएँ बाहरी चरों पर निर्भर हो सकती हैं, परंतु बाहरी सीमाएँ अचर होनी चाहिए। उलटा = गलत उत्तर।
  • ध्रुवीय याकोबियन भूलना: dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta, न कि dr dθdr\,d\theta।
  • क्षेत्र का रेखाचित्र न बनाना: अनायताकार DD के लिए, एक रेखाचित्र प्रकार I बनाम प्रकार II को स्पष्ट कर देता है।
  • असंभव आंतरिक फलनों का समाकलन करने का प्रयास: यदि आप ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx या समान अप्रारंभिक समाकल्य से टकराएँ, तो हार मानने से पहले क्रम बदलें।
  • ऋणात्मक समाकल्यों के साथ चिह्न त्रुटियाँ: यदि ff, DD पर चिह्न बदलता है, तो द्विसमाकल शून्य हो सकता है — यह सही है, 'सुधारने' की गलती नहीं।

Examples

Step 1: स्थापित करें: ∫01∫01(x2+y2) dy dx\int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2)\, dy\, dx
Step 2: yy पर समाकलन करें: ∫01(x2+y2) dy=x2⋅1+13=x2+13\int_0^1 (x^2 + y^2)\,dy = x^2 \cdot 1 + \frac{1}{3} = x^2 + \frac{1}{3}
Step 3: xx पर समाकलन करें: ∫01(x2+13) dx=13+13=23\int_0^1 (x^2 + \frac{1}{3})\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Answer: 23\dfrac{2}{3}

Step 1: ध्रुवीय में बदलें: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta
Step 2: सीमाएँ: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 3: समाकल बनता है: ∫02π∫01r2⋅r dr dθ=∫02π∫01r3 dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3\, dr\, d\theta
Step 4: आंतरिक: ∫01r3 dr=14\int_0^1 r^3\,dr = \frac{1}{4}
Step 5: बाहरी: ∫02π14 dθ=π2\int_0^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{\pi}{2}
Answer: π2\dfrac{\pi}{2}

Step 1: क्षेत्र: 0≤x≤10 \leq x \leq 1 और 0≤y≤1−x0 \leq y \leq 1 - x (प्रकार I)
Step 2: स्थापित करें: ∫01∫01−xy dy dx\int_0^1 \int_0^{1-x} y\,dy\,dx
Step 3: आंतरिक: ∫01−xy dy=(1−x)22\int_0^{1-x} y\,dy = \frac{(1-x)^2}{2}
Step 4: बाहरी: ∫01(1−x)22 dx=12⋅(1−x)3−3∣01=16\int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x)^3}{-3}\Big|_0^1 = \frac{1}{6}
Answer: 16\dfrac{1}{6}

Frequently Asked Questions

ध्रुवीय का प्रयोग तब करें जब क्षेत्र या समाकल्य में वृत्तीय सममिति हो — चक्रिकाएँ, वलय, त्रिज्यखंड, या x²+y² के फलन। याकोबियन r अक्सर गुणनखंडों को निरस्त करके समाकल्य को सरल कर देता है।

फुबिनी प्रमेय कहती है कि एक आयत पर (या किसी भी क्षेत्र पर जहाँ समाकल निरपेक्ष रूप से अभिसारी हो) एक संतत फलन के लिए, द्विसमाकल एक पुनरावृत्त समाकल के बराबर होता है, और परिणाम बदले बिना समाकलन का क्रम बदला जा सकता है।

क्षेत्र D का रेखाचित्र बनाएँ। प्रकार I और प्रकार II के रूप में समतुल्य विवरण ज्ञात करें — अर्थात्, उसी क्षेत्र को y के वक्रों से परिबद्ध x के बजाय x के वक्रों से परिबद्ध y के साथ व्यक्त करें। नई सीमाओं के साथ समाकल पुनर्लिखित करें।

गुणनखंड r, (x,y) से (r,θ) रूपांतरण के याकोबियन सारणिक से आता है। ज्यामितीय रूप से, एक पतली ध्रुवीय 'फाँक' का क्षेत्रफल r·dr·dθ होता है, केवल dr·dθ नहीं।

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