अवकलज बनाम अवकल

अवकलज और अवकल घनिष्ठ रूप से संबंधित किंतु भिन्न गणितीय वस्तुएँ हैं, और इन्हें भ्रमित करना कई सूक्ष्म कलन त्रुटियों का स्रोत है।

अवकलज

अवकलज $f'(x)$ (या $\frac{dy}{dx}$) एक फलन है जो प्रत्येक $x$ पर $f$ की परिवर्तन-दर देता है। $f(x) = x^2$ के लिए, $f'(x) = 2x$।

संख्यात्मक रूप से: $x = 3$ पर, $f'(3) = 6$ — उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल।

अवकल

अवकल $dy$ $y$ में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन है जो $x$ में अतिसूक्ष्म परिवर्तन $dx$ के अनुरूप है:

$dy = f'(x) \, dx$

$y = x^2$ के लिए: $dy = 2x \, dx$।

अवकल आपको अवकलज को अतिसूक्ष्मों के अनुपात के रूप में लिखने देते हैं — प्रतिस्थापन ($u$-प्रतिस्थापन समाकलन में: $du = u'(x) dx$) और अवकल समीकरणों के लिए चर पृथक्करण में उपयोगी।

अंतर कब मायने रखता है

समाकलन में: $\int 2x \, dx$ अवकल $dx$ का उपयोग करता है, अवकलज का नहीं।

अंतर्निहित अवकलन में: $x^2 + y^2 = 25$ से, अवकल लें: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, फिर $\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करें।

भौतिकी में: $dW = F \, dx$ (अवकल के रूप में कार्य), न कि "कार्य बल के अवकलज के बराबर है"।

रैखिक सन्निकटन

$dy$ छोटे $dx$ के लिए $\Delta y$ (वास्तविक परिवर्तन) के रैखिक सन्निकटन के रूप में भी कार्य करता है:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

यह त्रुटि प्रसार, न्यूटन विधि, और संपूर्ण कलन की रैखिक-सन्निकटन नींव का आधार है।

निष्कर्ष

जब आप एक दर / फलन चाहते हैं तब अवकलज $f'(x)$ का उपयोग करें। जब आप एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन चाहते हैं, विशेष रूप से समाकलन, प्रतिस्थापन, या अवकल समीकरणों में, तब अवकल $dy = f'(x) dx$ का उपयोग करें।