आयतन Formulas

भुजा का घन। भुजा $s$ वाला घन $s^3$ इकाई घनों से भरता है — इकाई-वर्ग तर्क का 3D संस्करण।

लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई। आधार क्षेत्रफल $l w$, $h$ परतें मिलकर $lwh$ देती हैं।

आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई। कैवलिएरी सिद्धांत के अनुसार समान अनुप्रस्थ काट और ऊँचाई वाले प्रिज़्म का आयतन समान होता है — त्रिकोणीय, षट्भुजीय, तिरछा — सबमें यही सूत्र।

समान आधार-ऊँचाई वाले प्रिज़्म का एक-तिहाई। "एक-तिहाई" $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ को 0 से $h$ तक समाकलित करने से आता है — अनुप्रस्थ काट रैखिक रूप से छोटी होती है।

पिरामिड जैसा ही "एक-तिहाई" नियम, गोल आधार $\pi r^2$। समान आधार-ऊँचाई वाले तीन शंकु एक बेलन को पूरी तरह भर देते हैं।

दो समानांतर वृत्तीय फलक, त्रिज्याएँ $R$ (नीचे) और $r$ (ऊपर), ऊँचाई $h$। बड़े शंकु से छोटा शंकु घटाकर निकाला जाता है; $Rr$ पद घन-अंतर से आता है।

सामान्य प्रिज़्म का विशेष मामला: गोल आधार $\pi r^2$ ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है। कैवलिएरी सिद्धांत के कारण तिरछा बेलन भी इसी सूत्र से।

बाहरी बेलन का आयतन माइनस भीतरी बेलन का आयतन — वलय वाली घटाने की तरकीब ही तीन-आयामी में।

प्रसिद्ध $\tfrac{4}{3}\pi r^3$। आर्किमिडीज़ का परिणाम: गोले का आयतन उसे ढकने वाले न्यूनतम बेलन का ठीक $\tfrac{2}{3}$ है।

गोले का आधा — $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ का ठीक आधा। गुंबद, कटोरे और समाकलन समस्याओं के लिए उपयोगी।

तीन अर्ध-अक्ष $a, b, c$। जब $a = b = c = r$ तो गोला $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ — गोला दीर्घवृत्तज का विशेष मामला।

मुख्य त्रिज्या $R$ (केंद्र से ट्यूब केंद्र), लघु त्रिज्या $r$ (ट्यूब)। पप्पस प्रमेय: क्षेत्रफल $\pi r^2$ परिमाप $2\pi R$ वाले वृत्त के चारों ओर घूम जाता है।