Calculatrice de trigonométrie

Une équation trigonométrique est une équation qui fait intervenir des fonctions trigonométriques ($\sin$, $\cos$, $\tan$, etc.) d'un angle inconnu. L'objectif est de trouver toutes les valeurs de l'angle qui satisfont l'équation.

Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, la plupart des équations trigonométriques ont une infinité de solutions. On exprime souvent les solutions sous deux formes :

1. Solutions principales : solutions dans un intervalle précis, généralement $[0, 2\pi)$ ou $[0°, 360°)$
2. Solutions générales : toutes les solutions, écrites à l'aide de $+ 2n\pi$ (ou $+ 360°n$) où $n$ est un entier quelconque

Par exemple, $\sin x = \frac{1}{2}$ a pour solutions principales $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$, et pour solutions générales $x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ et $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$.

Identités clés utilisées pour résoudre les équations trigonométriques :

• Pythagore : $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• Angle double : $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
• Formules de transformation somme-produit et produit-somme

Méthode 1 : Isolation et fonctions réciproques

Pour les équations simples, isolez la fonction trigonométrique et appliquez la fonction réciproque :

$\sin x = a \implies x = \arcsin(a) \text{ et } x = \pi - \arcsin(a)$

$\cos x = a \implies x = \pm \arccos(a)$

$\tan x = a \implies x = \arctan(a) + n\pi$

Méthode 2 : Factorisation

Lorsque l'équation peut être factorisée :

$\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x(\sin x - 1) = 0$

Donc $\sin x = 0$ ou $\sin x = 1$, ce qui donne $x = 0, \pi, \frac{\pi}{2}$ dans $[0, 2\pi)$.

Méthode 3 : Utiliser les identités pour simplifier

Remplacez les expressions complexes à l'aide d'identités :

Exemple : Résolvez $\cos 2x = \cos x$

En utilisant $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ :
$2\cos^2 x - 1 = \cos x$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

Donc $\cos x = -\frac{1}{2}$ ou $\cos x = 1$.

Méthode 4 : Substitution

Pour les équations comportant plusieurs fonctions trigonométriques, posez $t = \sin x$ ou $t = \cos x$ :

$2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$

En utilisant $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0$ → $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Méthode 5 : Élever les deux membres au carré (avec vérification)

Parfois utile, mais vérifiez toujours les solutions car l'élévation au carré peut introduire des racines parasites.

Résumé des angles de référence

Comparaison des méthodes

• Oublier les solutions périodiques : $\sin x = 0,5$ a deux solutions par période, et non une seule. Considérez toujours tous les quadrants où la fonction a le signe donné.
• Diviser par une fonction trigonométrique : diviser par $\sin x$ ou $\cos x$ peut faire perdre les solutions où cette fonction s'annule. Factorisez plutôt.
• Ne pas vérifier les solutions parasites : lorsque vous élevez les deux membres au carré, substituez toujours pour vérifier. L'élévation au carré peut introduire de fausses solutions.
• Confondre degrés et radians : assurez la cohérence. $\sin(30) \neq \sin(30°)$ dans la plupart des calculatrices et contextes de programmation.
• Ignorer les restrictions de domaine : $\sin x = 2$ n'a aucune solution réelle puisque $-1 \leq \sin x \leq 1$.