Calculatrice Sin Cos Tan

Les trois fonctions trigonométriques principales — le sinus, le cosinus et la tangente — relient les angles aux rapports des côtés d'un triangle rectangle :

$\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Sur le cercle trigonométrique (rayon 1, centré à l'origine), pour un angle $\theta$ mesuré à partir de l'axe positif des $x$ :

• $\cos\theta$ = coordonnée $x$ du point
• $\sin\theta$ = coordonnée $y$ du point
• $\tan\theta$ = pente du rayon terminal

Propriétés clés :

• $\sin$ et $\cos$ ont pour ensemble image $[-1, 1]$ et pour période $2\pi$
• $\tan$ a pour ensemble image $(-\infty, \infty)$ et pour période $\pi$
• $\tan\theta$ n'est pas défini lorsque $\cos\theta = 0$ (en $\frac{\pi}{2} + n\pi$)

Les fonctions réciproques sont :
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

Ces six fonctions constituent le fondement de la trigonométrie et apparaissent partout en mathématiques, en physique, en ingénierie et en traitement du signal.

Méthode 1 : Cercle trigonométrique (valeurs exactes)

Mémorisez les angles clés et leurs coordonnées sur le cercle trigonométrique :

Méthode 2 : Angles de référence

Pour les angles au-delà du premier quadrant :

1. Trouvez l'angle de référence (angle aigu par rapport à l'axe des $x$)
2. Déterminez le signe selon le quadrant (règle ASTC : All, Sin, Tan, Cos)

Règle ASTC — quelles fonctions sont positives :

• Quadrant I (0° à 90°) : toutes positives
• Quadrant II (90° à 180°) : Sin positif
• Quadrant III (180° à 270°) : Tan positif
• Quadrant IV (270° à 360°) : Cos positif

Exemple : $\sin(150°)$ — L'angle de référence est $180° - 150° = 30°$. Dans le quadrant II, le sinus est positif : $\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Méthode 3 : Formules d'addition et de soustraction

Pour les angles non standard, décomposez-les en angles connus :

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Exemple : $\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Méthode 4 : Transformations graphiques

Pour $y = A\sin(Bx + C) + D$ :

• $|A|$ = amplitude
• $\frac{2\pi}{|B|}$ = période
• $-\frac{C}{B}$ = déphasage
• $D$ = décalage vertical

Comparaison : quand utiliser chaque méthode

• Mauvais signe de quadrant : $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, et non $+\frac{1}{2}$. Vérifiez toujours quel quadrant détermine le signe.
• Confondre degrés et radians : $\sin(\pi) = 0$ (radians), mais $\sin(180) \approx -0,80$ si interprété comme 180 radians. Soyez cohérent avec les unités.
• Oublier que tan n'est pas définie : $\tan(90°)$ et $\tan(270°)$ ne sont pas définies (asymptotes verticales), elles ne valent ni zéro ni l'infini.
• Mal appliquer la formule d'addition : $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$. Vous devez utiliser le développement correct.
• Erreurs sur l'angle de référence : l'angle de référence est toujours mesuré par rapport à l'axe des $x$ (et non à l'axe des $y$), et il est toujours positif et aigu.