Calculatrice de score Z

Un score Z (aussi appelé score standard) mesure de combien d'écarts-types une valeur est éloignée de la moyenne :

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

où $x$ est la valeur brute, $\mu$ est la moyenne de population, et $\sigma$ est l'écart-type de population.

Interprétation :

• $z = 0$ : la valeur est égale à la moyenne.
• $z = 1$ : un écart-type au-dessus de la moyenne.
• $z = -2$ : deux écarts-types en dessous de la moyenne.
• $|z| > 2$ est conventionnellement « inhabituel » ; $|z| > 3$ est « extrême ».

Pourquoi standardiser ?

• Comparabilité : les scores Z permettent de comparer des valeurs de distributions différentes (par ex. un $z = 1.5$ à un test de maths SAT vs un $z = 1.5$ à un test verbal signifient la même performance relative).
• Recherche de probabilité : si la distribution sous-jacente est approximativement normale, $z$ se mappe directement à une probabilité via la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite $\Phi(z)$.
• Détection de valeurs aberrantes : un $|z|$ grand signale des valeurs aberrantes potentielles.

Version échantillon : en travaillant à partir de données d'échantillon, remplacer $\mu$ par $\bar{x}$ et $\sigma$ par $s$ :

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Étape par étape

1. Identifier la valeur $x$, la moyenne $\mu$ (ou $\bar{x}$) et l'écart-type $\sigma$ (ou $s$).
2. Soustraire la moyenne : $x - \mu$.
3. Diviser par l'écart-type : $z = (x - \mu)/\sigma$.

Inverse : trouver $x$ à partir de $z$

$x = \mu + z\sigma$

Utile lorsqu'un percentile est donné et qu'on demande la valeur brute correspondante.

Probabilité via la loi normale centrée réduite

Pour une variable distribuée normalement $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, la variable standardisée $Z = (X - \mu)/\sigma$ suit la loi normale centrée réduite $N(0, 1)$.

Probabilités courantes :

Symétrie : $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

Règle empirique (68-95-99,7)

Pour une loi normale :

• ~68 % des valeurs tombent dans $\pm 1\sigma$ de la moyenne.
• ~95 % dans $\pm 2\sigma$.
• ~99,7 % dans $\pm 3\sigma$.

C'est le fondement des intervalles de confiance et de nombreuses estimations rapides.

Valeurs Z critiques pour les intervalles de confiance

Ce sont les valeurs $z^*$ telles que $P(-z^* < Z < z^*) =$ niveau de confiance.

• Mauvais ordre : $z = (x - \mu)/\sigma$, et non $(\mu - x)/\sigma$. Mettre la moyenne en deuxième change le signe.
• Utiliser la variance au lieu de l'écart-type : divisez par $\sigma$, et non $\sigma^2$. Une valeur « à une variance » n'a pas de sens — vous voulez un écart-type.
• Échantillon vs population : avec des données d'échantillon, utilisez $\bar{x}$ et $s$. Avec des paramètres connus, utilisez $\mu$ et $\sigma$. Les confondre gonfle/dégonfle les scores Z.
• Supposer la normalité sans vérifier : les scores Z peuvent être calculés pour n'importe quelle distribution, mais la recherche de probabilité $\Phi(z)$ ne s'applique que si la distribution sous-jacente est normale (ou approximativement par le TCL).
• Oublier le signe : $z = -2$ signifie « en dessous de la moyenne ». Rapporter $z = 2$ déforme la direction.
• Confondre probabilités unilatérales et bilatérales : $P(|Z| > 2)$ est les deux queues combinées ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ est une queue ($\approx 0.0228$). Lisez attentivement la question.