Calculatrice d'intervalle de confiance

Un intervalle de confiance (IC) est une plage de valeurs plausibles pour un paramètre de population inconnu, construit à partir de données d'échantillon. Un intervalle de confiance à 95 % signifie : si vous répétiez la procédure d'échantillonnage de nombreuses fois, environ 95 % des intervalles construits contiendraient le vrai paramètre.

Important : le 95 % se réfère à la procédure, pas à un intervalle calculé particulier. Une fois un intervalle construit à partir de données, il contient ou ne contient pas le vrai paramètre — mais on ne sait pas lequel.

Structure de base : tout intervalle de confiance a la forme

$\text{estimate} \pm \text{margin of error}$

L'estimation est la statistique d'échantillon ($\bar{x}$ ou $\hat{p}$). La marge d'erreur est une valeur critique fois l'erreur-type de l'estimation.

Les intervalles de confiance apparaissent dans :

• Les sondages électoraux (« 52 % de soutien, marge d'erreur $\pm 3\%$ »)
• Les études médicales (IC sur la taille d'effet)
• Le contrôle qualité (taux de défauts moyens)
• Chaque fois qu'on veut quantifier l'incertitude d'une estimation, et pas seulement rapporter une valeur ponctuelle.

IC pour une moyenne de population (intervalle Z)

Lorsque l'écart-type de population $\sigma$ est connu et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale (grand $n$ ou population normale) :

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

où $z^*$ est la valeur critique pour le niveau de confiance choisi.

IC pour une moyenne de population (intervalle T)

Lorsque $\sigma$ est inconnu (vous n'avez que $s$, l'écart-type d'échantillon) — bien plus courant en pratique :

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

La valeur critique $t^*$ provient de la loi de Student à $n - 1$ degrés de liberté. Pour grand $n$ ($\geq 30$), $t^* \approx z^*$ et les deux intervalles sont très similaires.

IC pour une proportion de population

Pour une proportion d'échantillon $\hat{p} = x/n$ (où $x$ est le nombre de succès) :

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

Valide lorsque $n\hat{p} \geq 10$ et $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (condition succès-échec).

Valeurs critiques

Marge d'erreur

$\text{ME} = (\text{critical value}) \times (\text{standard error})$

Augmenter la taille d'échantillon $n$ diminue l'erreur-type (et donc la marge d'erreur) d'un facteur $\sqrt{n}$. Quadrupler $n$ divise par deux la marge d'erreur.

Choisir le niveau de confiance

• Plus de confiance = intervalle plus large. Un IC à 99 % est plus large qu'un IC à 95 %, lui-même plus large qu'un IC à 90 %.
• 95 % est la valeur par défaut dans la plupart des contextes académiques et professionnels.
• 99 % quand les enjeux sont plus élevés (médical, sécurité) ; 90 % quand une estimation ponctuelle plus serrée importe plus que la couverture.

• Mal interpréter le 95 % : « Il y a 95 % de probabilité que la vraie moyenne soit dans cet intervalle » est faux (fréquentiste). L'énoncé correct concerne la procédure : 95 % des intervalles construits de manière similaire contiennent le vrai paramètre.
• Utiliser z quand t est approprié : avec $\sigma$ inconnu, utilisez $t^*$. Utiliser $z^*$ sous-estime l'incertitude, surtout pour petit $n$.
• Oublier $\sqrt{n}$ dans l'erreur-type : $\sigma/\sqrt{n}$, et non $\sigma/n$.
• Mauvaise direction de la valeur critique : $z^* = 1.96$ pour 95 % (bilatéral), et non le 95e percentile $z = 1.645$. La valeur critique bilatérale retranche $\alpha/2$ dans chaque queue.
• Ignorer la condition succès-échec pour les proportions : si $n\hat{p}$ ou $n(1-\hat{p}) < 10$, l'approximation normale s'effondre — utilisez un intervalle exact (Clopper-Pearson) ou basé sur le score.
• Confondre IC et intervalle de prédiction : un IC à 95 % estime la moyenne avec une couverture de 95 %. Un intervalle de prédiction estime une seule observation future — bien plus large.