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Calculatrice d'intégrale triple

Évaluez les intégrales triples en coordonnées rectangulaires, cylindriques ou sphériques avec des solutions étape par étape propulsées par l'IA

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∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

Qu'est-ce qu'une intégrale triple ?

Une intégrale triple étend le concept d'intégrale simple et double à trois dimensions. Pour une fonction f(x,y,z)f(x, y, z) définie sur une région solide E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 :

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

donne l'accumulation totale de ff sur EE. L'élément de volume infinitésimal dVdV devient dx dy dzdx\,dy\,dz en coordonnées cartésiennes, mais peut être réécrit selon la géométrie de EE.

Significations physiques courantes :

  • Si f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, l'intégrale donne le volume de EE.
  • Si f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) est une densité, elle donne la masse totale.
  • Les moments, centres de masse et moments d'inertie sont tous des intégrales triples de fonctions de densité pondérées.

La clé pour évaluer une intégrale triple est de choisir le bon système de coordonnées et de poser correctement les bornes.

Comment poser et évaluer les intégrales triples

Étape 1 : Choisir les coordonnées

Géométrie de la régionMeilleures coordonnéesÉlément de volume
Boîte / généraleRectangulaires (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
Symétrie cylindriqueCylindriques (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
Symétrie sphériqueSphériques (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Étape 2 : Poser les bornes

Projeter la région sur un plan de coordonnées pour déterminer l'ordre d'intégration. Pour un solide de type I borné en haut par z=g2(x,y)z = g_2(x,y) et en bas par z=g1(x,y)z = g_1(x,y) :

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Étape 3 : Évaluer itérativement

Intégrer d'abord l'intégrale la plus interne, en traitant les variables externes comme des constantes. Puis progresser vers l'extérieur.

Coordonnées cylindriques

Utiliser les substitutions x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z :

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

Le facteur supplémentaire rr provient du déterminant jacobien.

Coordonnées sphériques

Utiliser x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi :

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Le jacobien ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi est critique — l'oublier est l'erreur la plus courante.

Erreurs courantes à éviter

  • Oublier le jacobien : le cylindrique obtient un facteur rr, le sphérique obtient ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. L'omettre donne une réponse fausse à chaque fois.
  • Mauvais ordre des bornes : les bornes les plus internes peuvent dépendre des variables externes, mais les bornes les plus externes doivent être des constantes. Inverser cela produit un non-sens.
  • Erreurs de signe avec sin⁡φ\sin\varphi : en sphérique, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (donc sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). Utiliser φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] est faux.
  • Mélanger les conventions : certains ouvrages utilisent φ\varphi pour l'angle polaire (depuis l'axe z), d'autres pour l'angle azimutal. Soyez cohérent avec une seule convention.
  • Ne pas esquisser la région : pour les solides non triviaux, une esquisse rapide vous évite des bornes impossibles.

Examples

Step 1: Poser l'intégrale itérée : ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Intégrer en zz : ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Intégrer en yy : ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Intégrer en xx : ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: En sphérique : 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Volume = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Interne : ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Milieu : ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Externe : ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Produit : 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Passer en cylindrique : 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Intégrale = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Interne : ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Milieu : ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Externe : ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Utilisez les cylindriques lorsque la région a une symétrie de rotation autour de l'axe z mais pas de structure radiale particulière (cylindres, paraboloïdes, cônes au-dessus/en dessous d'un disque). Utilisez les sphériques lorsque la région est bornée par des sphères, des cônes depuis l'origine, ou a une symétrie radiale 3D complète (boules, coquilles sphériques).

Le jacobien est le déterminant qui ajuste l'élément de volume lors d'un changement de coordonnées. En cylindrique il vaut r, en sphérique il vaut ρ² sin φ. Sans lui, l'intégrale mesure le mauvais volume.

Examinez la région : intégrez d'abord la variable dont les bornes dépendent des autres (la plus interne), puis progressez vers l'extérieur. La variable la plus externe doit avoir des bornes constantes. Si un ordre mène à des bornes affreuses, échangez l'ordre à l'aide d'une esquisse de la région.

Oui, si l'intégrande peut être négative. Pour les calculs de volume l'intégrande vaut 1 et la réponse est toujours positive. Pour des quantités physiques comme un flux algébrique ou une force nette, des valeurs négatives sont possibles et significatives.

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