Calculatrice de séries

Analysez la convergence, calculez des sommes et développez les séries de Taylor/Maclaurin avec des solutions étape par étape

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∑Math Input

sum of 1/n^2 from n=1 to infinity

does sum of (-1)^n / n converge?

Taylor series of sin(x) at x = 0

sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

Qu'est-ce qu'une série ?

Une série est la somme des termes d'une suite. Une série infinie prend la forme :

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

Les sommes partielles sont $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ . Si la suite des sommes partielles converge vers une limite finie $S$ , on dit que la série converge et $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$ . Sinon, la série diverge.

Série géométrique : la série $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ converge vers $\frac{a}{1-r}$ lorsque $|r| < 1$ .

Série de Riemann (p-série) : la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ converge lorsque $p > 1$ et diverge lorsque $p \leq 1$ .

Série entière : une série de la forme $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n$ qui représente une fonction dans son rayon de convergence.

Série de Taylor : le développement en série entière de $f(x)$ autour de $x = a$ :

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

Lorsque $a = 0$ , on l'appelle une série de Maclaurin.

Comment déterminer la convergence

Critère de divergence (critère du terme général)

Si $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ , la série diverge. Remarque : si la limite est 0, le critère est non concluant.

Critère de d'Alembert (critère du rapport)

Calculer $L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ :

Si $L < 1$ : converge absolument
Si $L > 1$ : diverge
Si $L = 1$ : non concluant

Critère de Cauchy (critère de la racine)

Calculer $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ . Mêmes règles de conclusion que le critère de d'Alembert.

Critère de l'intégrale

Si $f(n) = a_n$ où $f$ est positive, continue et décroissante pour $x \geq 1$ :
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converges} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ converges}$

Critère de comparaison

Si $0 \leq a_n \leq b_n$ pour tout $n$ :

Si $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge
Si $\sum a_n$ diverge, alors $\sum b_n$ diverge

Critère des séries alternées (critère de Leibniz)

La série alternée $\sum (-1)^n b_n$ converge si :

$b_n > 0$ pour tout $n$
$b_n$ est décroissante
$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$

Séries de Taylor/Maclaurin usuelles

Fonction	Série de Maclaurin	Rayon
$e^x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$	$\infty$
$\sin x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$\infty$
$\frac{1}{1-x}$	$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$	$1$
$\ln(1+x)$	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$	$1$

Choisir le bon critère

Critère	Idéal pour	Indicateur clé
Divergence	Élimination rapide	Les termes ne tendent clairement pas vers 0
Rapport	Factorielles, exponentielles	$n!$ ou $r^n$ dans les termes
Racine	Puissances n-ièmes	$a_n = [f(n)]^n$
Intégrale	Fonctions décroissantes simples	$a_n = f(n)$ facilement intégrable
Comparaison	Termes ressemblant à des séries connues	Ressemble à une p-série ou géométrique
Alternée	Séries à signes alternés	Facteur $(-1)^n$

Erreurs courantes à éviter

Mésusage du critère de divergence : si $\lim a_n = 0$ , cela ne prouve PAS la convergence. La série harmonique $\sum 1/n$ diverge même si $1/n \to 0$ .
Appliquer le critère de d'Alembert quand L = 1 : quand la limite du rapport vaut 1, le critère ne donne aucune information. Vous devez utiliser un autre critère.
Confondre convergence absolue et conditionnelle : une série peut converger conditionnellement (comme la série harmonique alternée) sans converger absolument.
Mauvais rayon de convergence : n'oubliez pas de vérifier séparément les bornes en trouvant l'intervalle de convergence.
Reste de la série de Taylor : le polynôme de Taylor n'est qu'une approximation ; pour un nombre fini de termes, il y a un terme de reste dont la borne compte pour la précision.

Examples

Step 1: Appliquer le critère de d'Alembert :

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}

Step 2:

L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1

, donc la série converge

Step 3: Pour trouver la somme, utiliser la formule

\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}

avec

x = \frac{1}{2}

\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2

Answer:

2

Step 1: Partir de la série géométrique :

\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n

pour

|t| < 1

Step 2: Substituer

t = -x^2

\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n

Step 3: Simplifier :

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots

pour

|x| < 1

Answer:

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}

, valid for

|x| < 1

Step 1: C'est une série alternée avec

b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}

Step 2: Vérifier :

b_n > 0

✓,

b_n

est décroissante ✓,

\lim_{n \to \infty} b_n = 0

✓

Step 3: Par le critère des séries alternées, la série converge (conditionnellement, puisque

\sum \frac{1}{\sqrt{n}}

diverge comme p-série avec

p = 1/2 < 1

)

Answer: The series converges conditionally

Frequently Asked Questions

Une série converge si ses sommes partielles s'approchent d'un nombre fini à mesure qu'on ajoute des termes. Une série diverge si les sommes partielles croissent sans borne ou oscillent sans se stabiliser sur une valeur.

Les séries de Taylor servent à approximer des fonctions compliquées par des polynômes, ce qui les rend plus faciles à calculer, dériver ou intégrer. Elles sont fondamentales en physique, ingénierie et analyse numérique pour approximer des fonctions près d'un point spécifique.

Le rayon de convergence R est la distance depuis le centre d'une série entière à l'intérieur de laquelle la série converge. Pour |x - a| < R la série converge absolument, pour |x - a| > R elle diverge, et en |x - a| = R vous devez vérifier les bornes individuellement.

Non. La série harmonique, qui est la somme de 1/n de n=1 à l'infini, diverge. Bien que les termes tendent vers zéro, ils ne décroissent pas assez vite pour que la somme reste finie. C'est un exemple classique montrant que le fait que les termes tendent vers zéro est nécessaire mais pas suffisant pour la convergence.

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Qu'est-ce qu'une série ?

Comment déterminer la convergence

Critère de divergence (critère du terme général)

Critère de d'Alembert (critère du rapport)

Critère de Cauchy (critère de la racine)

Critère de l'intégrale

Critère de comparaison

Critère des séries alternées (critère de Leibniz)

Séries de Taylor/Maclaurin usuelles

Choisir le bon critère

Erreurs courantes à éviter

Examples

Frequently Asked Questions

Quelle est la différence entre convergence et divergence ?

À quoi sert une série de Taylor ?

Qu'est-ce que le rayon de convergence ?

La série harmonique converge-t-elle ?

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Erreurs courantes à éviter

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Problem: DeˊterminersiDéterminer si Deˊterminersi\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}converge,ettrouversasomme converge, et trouver sa sommeconverge,ettrouversasomme

Problem: TrouverlaseˊriedeMaclaurindeTrouver la série de Maclaurin de TrouverlaseˊriedeMaclaurindef(x) = \frac{1}{1+x^2}$$

Problem: DeˊterminersiDéterminer si Deˊterminersi\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}converge convergeconverge

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Quelle est la différence entre convergence et divergence ?

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À quoi sert une série de Taylor ?

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Qu'est-ce que le rayon de convergence ?

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La série harmonique converge-t-elle ?

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