Calculatrice de série de Taylor

Une série de Taylor représente une fonction comme un polynôme infini construit à partir des dérivées de la fonction en un seul point $a$ :

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Lorsque $a = 0$, la série est appelée une série de Maclaurin :

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Pourquoi c'est important : les séries de Taylor convertissent des calculs sur des fonctions potentiellement difficiles ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) en calculs sur des polynômes, que les ordinateurs et les humains peuvent traiter. Elles sont le fondement des méthodes numériques, des développements asymptotiques et de la théorie de l'approximation.

Le polynôme de Taylor de degré $n$ est la somme partielle conservant les termes jusqu'à $(x-a)^n$. C'est la meilleure approximation polynomiale de $f$ près de $a$ en un sens précis (correspondance de la valeur et des $n$ premières dérivées).

Étape 1 : Calculer les dérivées au point de développement

Pour $f(x)$ et le point de développement $a$, calculer $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Étape 2 : Reporter dans la formule

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Séries de Maclaurin usuelles à mémoriser

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Rayon de convergence

Une série de Taylor ne converge qu'à l'intérieur d'un rayon de convergence $R$ autour de $a$. Le trouver à l'aide du critère du rapport :

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

En dehors de ce rayon, la série diverge et ne représente pas la fonction. À l'intérieur, la convergence est généralement uniforme sur les sous-ensembles compacts.

Manipuler des séries connues

Pour gagner du temps, substituez, dérivez ou intégrez des séries connues au lieu de calculer les dérivées de zéro :

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (substituer $-x^2$ dans $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Oublier la factorielle : le $n$-ième terme a un $\frac{1}{n!}$, et non juste la dérivée. L'omettre donne une réponse complètement fausse.
• Utiliser la série en dehors de son rayon de convergence : $\frac{1}{1-x}$ n'est pas égal à $\sum x^n$ quand $|x| > 1$ — la série y diverge.
• Oublier de centrer en $a$ : une série de Taylor autour de $a$ utilise des puissances de $(x-a)$, pas de $x$.
• Confondre degré et nombre de termes : un polynôme de Taylor de degré $n$ a $n+1$ termes (degrés $0$ à $n$).
• Erreurs de signe de substitution : $\sin(-x) = -\sin(x)$, donc la série de $\sin(-x)$ a des signes alternés inversés par rapport à $\sin(x)$.