Solveur d'équations différentielles

Une équation différentielle (ED) est une équation qui relie une fonction à ses dérivées. Une équation différentielle ordinaire (EDO) implique une fonction d'une seule variable :

$F\left(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}\right) = 0$

L'ordre d'une ED est la plus haute dérivée qui apparaît. Le degré est la puissance de la dérivée d'ordre le plus élevé (quand l'équation est polynomiale en les dérivées).

EDO du premier ordre : $y' = f(x, y)$

EDO du second ordre : $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$

Une solution est une fonction $y(x)$ qui satisfait l'équation sur un certain intervalle. La solution générale contient des constantes arbitraires (une par ordre). Un problème de Cauchy spécifie des conditions comme $y(x_0) = y_0$ pour déterminer une solution particulière unique.

Les équations différentielles modélisent des phénomènes du monde réel : croissance de population, désintégration radioactive, systèmes masse-ressort, circuits électriques, conduction thermique et écoulement de fluides.

Méthode 1 : Séparation des variables

Pour les équations de la forme $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ :

1. Séparer : $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
2. Intégrer les deux côtés : $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

Exemple : $\frac{dy}{dx} = 2xy$ → $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ → $\ln|y| = x^2 + C$ → $y = Ae^{x^2}$

Méthode 2 : Facteur intégrant (linéaire du premier ordre)

Pour $y' + P(x)y = Q(x)$, multiplier par le facteur intégrant $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$ :

$\frac{d}{dx}[\mu(x) \cdot y] = \mu(x) \cdot Q(x)$

Puis intégrer les deux côtés pour trouver $y$.

Exemple : $y' + 2y = e^{-x}$. Ici $P(x) = 2$, donc $\mu = e^{2x}$. Multiplier : $(e^{2x}y)' = e^{x}$. Intégrer : $e^{2x}y = e^x + C$, donc $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

Méthode 3 : Équation caractéristique (coefficients constants)

Pour $ay'' + by' + cy = 0$, résoudre l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ :

Méthode 4 : Coefficients indéterminés

Pour $ay'' + by' + cy = g(x)$ où $g(x)$ est un polynôme, une exponentielle, un sinus, un cosinus ou une combinaison :

1. Trouver la solution générale de l'équation homogène
2. Deviner une forme de solution particulière selon $g(x)$
3. Substituer et résoudre pour les coefficients
4. Solution générale = homogène + particulière

Méthode 5 : Variation des constantes

Une méthode générale pour $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$ quand les solutions homogènes $y_1, y_2$ sont connues :

$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 g}{W}\,dx$

où $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ est le wronskien.

Comparaison des méthodes

• Oublier la constante d'intégration : dans la séparation des variables, la constante doit être incluse avant de résoudre pour $y$, car elle affecte la forme finale de la solution.
• Facteur intégrant incorrect : le facteur intégrant pour $y' + P(x)y = Q(x)$ est $e^{\int P(x)\,dx}$. Assurez-vous que l'équation est sous forme standard (le coefficient de $y'$ doit être 1) avant d'identifier $P(x)$.
• Manquer le cas de racine double : quand l'équation caractéristique a une racine double $r$, la deuxième solution est $xe^{rx}$, et non encore $e^{rx}$.
• Mauvaise hypothèse de solution particulière : si votre hypothèse pour $y_p$ est déjà une solution de l'équation homogène, multipliez par $x$ (ou $x^2$ si nécessaire) pour obtenir une forme valide.
• Ignorer les conditions initiales : la solution générale a des constantes arbitraires. Appliquez les conditions initiales seulement après avoir trouvé la solution générale complète.