Calculatrice de transformée de Laplace

La transformée de Laplace convertit une fonction du temps $f(t)$ en une fonction de la fréquence complexe $F(s)$ :

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

La transformée est définie pour $s$ dans un demi-plan droit $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ où l'intégrale converge.

Pourquoi c'est utile : Laplace convertit la dérivation en multiplication par $s$, transformant les EDO linéaires à coefficients constants en équations algébriques en $s$. On résout l'algèbre, puis on prend la transformée de Laplace inverse pour obtenir la réponse dans le domaine temporel.

Les transformées de Laplace gèrent aussi élégamment les entrées discontinues et impulsionnelles (fonctions échelon, deltas de Dirac), ce qui les rend indispensables en théorie du contrôle, en traitement du signal et en génie électrique.

Paires de transformées de base

Mémorisez la table fondamentale :

Propriétés clés

Linéarité :

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

Premier décalage (décalage en s) :

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

C'est ainsi que $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

Dérivation dans le domaine $t$ :

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

C'est ce qui convertit les EDO en algèbre : les dérivées deviennent des polynômes en $s$ multipliés par $F(s)$, avec les conditions initiales intégrées.

Multiplication par $t$ :

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

Transformée de Laplace inverse

Étant donné $F(s)$, trouver $f(t)$ tel que $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. Techniques standard :

1. Fractions partielles : décomposer $F(s)$ en morceaux rationnels simples correspondant à la table.
2. Complétion du carré : pour des formes $\frac{1}{s^2 + bs + c}$, réécrire en $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ pour correspondre à l'entrée sinus décalée de la table.
3. Chercher et combiner en utilisant la linéarité.

Résolution d'EDO avec Laplace

Pour $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$ :

1. Appliquer Laplace : $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. Résoudre pour $Y$ : $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$, donc $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (après simplification).
3. Inverser : $y(t) = t e^{-t}$.

Propre et mécanique — le même problème par variation des constantes demande deux fois plus de travail.

• Oublier les conditions initiales : $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Omettre $f(0)$ est l'erreur la plus courante.
• Mauvais signe dans le décalage en s : $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$, et non $F(s + a)$. Le signe compte.
• Mauvaise gestion des discontinuités : pour les entrées échelon, utilisez la fonction échelon unité $u(t-a)$ et le théorème du décalage temporel $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• Transformée inverse sans fractions partielles : $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ ne s'inverse pas directement — décomposez d'abord.
• Confondre $F(s)$ avec $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$ : $F(s)$ est la transformée, $f(t)$ est l'originale. Terminez toujours les problèmes d'EDO de retour dans le domaine temporel.