Calculatrice de division synthétique

La division synthétique est un raccourci pour diviser un polynôme $p(x)$ par un facteur linéaire $x - k$. Elle est plus rapide que la division longue et produit le même quotient et le même reste, avec moins d'écriture.

Étant donné $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ divisé par $x - k$, la division synthétique produit :

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

où $q(x)$ est le quotient (degré $n - 1$) et $r$ est le reste constant.

Utilisations clés :

1. Division polynomiale rapide lorsque le diviseur est un facteur linéaire $x - k$.
2. Évaluer $p(k)$ — par le théorème du reste, $p(k) = r$, donc le reste est exactement la valeur de la fonction.
3. Factoriser des polynômes — si $r = 0$, alors $(x - k)$ est un facteur et $q(x)$ donne le cofacteur.
4. Trouver des racines rationnelles combinée au théorème des racines rationnelles.

Mise en place

Pour diviser $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ par $x - k$ :

1. Écrire le zéro du diviseur $k$ à gauche.
2. Lister les coefficients de $p(x)$ à droite, en incluant des zéros pour tout terme manquant.

Algorithme

1. Abaisser le premier coefficient ($a_n$) inchangé.
2. Multiplier par $k$ et écrire le résultat sous le coefficient suivant ($a_{n-1}$).
3. Additionner la colonne. Écrire la somme sur la ligne du bas.
4. Répéter : multiplier cette somme par $k$, écrire sous le coefficient suivant, additionner.
5. Continuer jusqu'à avoir traité tous les coefficients.

Lecture du résultat

La ligne du bas contient :

• Les $n$ premières entrées : coefficients du quotient $q(x)$ (par ordre décroissant des degrés).
• La dernière entrée : le reste $r$.

Exemple : $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Coefficients de $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$ : $[1, 0, -4, 5]$. Zéro du diviseur : $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Quotient : $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Reste : $5$.

Donc $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Lien avec le théorème du reste

Le reste $r$ dans $p(x) = (x - k)q(x) + r$ est égal à $p(k)$. En posant $x = k$ :

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

La division synthétique est donc un moyen rapide d'évaluer $p(k)$ sans substitution.

Théorème du facteur

Un corollaire : $(x - k)$ est un facteur de $p(x)$ si et seulement si $p(k) = 0$ si et seulement si le reste de la division synthétique est $0$.

• Oublier les zéros de remplissage : pour $p(x) = x^3 - 4x + 5$, vous devez inclure un $0$ pour le terme manquant en $x^2$. Sinon les colonnes ne s'alignent pas.
• Erreur de signe sur $k$ : pour diviser par $x - 2$, utilisez $k = 2$ (le zéro du diviseur). Pour diviser par $x + 3$, utilisez $k = -3$.
• Ne s'utilise pas directement pour des diviseurs $ax - k$ : la division synthétique telle qu'enseignée fonctionne pour $x - k$ (coefficient dominant 1). Pour $ax - k$, factorisez d'abord $a$ ou utilisez la division longue.
• Oublier d'abaisser le premier coefficient : la première étape est toujours « abaisser $a_n$ » — sans encore rien multiplier.
• Mal lire le quotient : les $n$ premières entrées de la ligne du bas sont des coefficients, et le degré baisse de 1. Un polynôme de degré 4 divisé par $x - k$ donne un quotient de degré 3.