Calculatrice de complétion du carré

La complétion du carré est la technique algébrique consistant à réécrire un trinôme du second degré $ax^2 + bx + c$ sous la forme :

$a(x - h)^2 + k$

où $(h, k)$ est le sommet de la parabole.

Pourquoi c'est important :

• Révèle d'un coup d'œil le sommet (point minimal/maximal) d'une parabole.
• Permet de résoudre n'importe quelle équation du second degré sans la formule du discriminant.
• Est la technique sous-jacente qui démontre la formule du discriminant.
• Sert à évaluer $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ en analyse (se ramène à un arctangente).
• Essentielle pour comprendre les intégrales gaussiennes et de nombreux sujets en physique.

L'identité fondamentale qui le rend possible :

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Cas 1 : Le coefficient dominant vaut 1

Pour $x^2 + bx + c$ :

1. Prendre la moitié de $b$ et l'élever au carré : $(b/2)^2$.
2. Ajouter et soustraire cette quantité : $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Regrouper le carré parfait : $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Exemple : $x^2 + 6x + 5$

• La moitié de 6 est 3. Au carré : 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Forme canonique : $(x + 3)^2 - 4$, sommet en $(-3, -4)$.

Cas 2 : Le coefficient dominant n'est pas 1

Pour $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$ :

1. Factoriser $a$ des deux premiers termes : $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Compléter le carré à l'intérieur des parenthèses : la moitié de $b/a$ est $b/(2a)$, au carré $b^2/(4a^2)$.
3. Ajouter et soustraire à l'intérieur : $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Simplifier : $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Notez que lorsque vous « annulez » le terme ajouté, vous multipliez par $a$ puisque l'intérieur est multiplié par $a$.

Résolution d'une équation du second degré

Pour $ax^2 + bx + c = 0$ :

1. Compléter le carré pour obtenir $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. Isoler le terme au carré : $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Prendre les racines carrées : $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Résoudre : $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

C'est essentiellement ce que fait la formule du discriminant en une seule expression compacte.

• Oublier d'équilibrer : lorsque vous ajoutez $(b/2)^2$, vous devez aussi le soustraire. Sinon vous avez modifié l'expression.
• Mauvaise gestion du coefficient : si $a \neq 1$, vous devez factoriser $a$ des deux premiers termes avant de compléter le carré, puis multiplier votre correction par $a$ lors de la redistribution.
• Erreurs de signe avec $\pm$ : après avoir pris les racines carrées, les deux branches doivent être conservées. Omettre le $\pm$ fait perdre une solution.
• Moitié de $b$ ou $b/2a$ : lorsque le coefficient dominant vaut 1, prenez la moitié de $b$. Quand ce n'est pas le cas, factorisez d'abord — puis prenez la moitié du nouveau coefficient.
• Oublier de simplifier la constante : après avoir complété le carré, combinez les constantes restantes en un seul $k$.