Statistiques descriptives

Moyenne (population)

$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

Moyenne de toutes les valeurs de la population.

Moyenne (échantillon)

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

Moyenne de l'échantillon.

Variance (population)

$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$

Dispersion au carré, divisée par N.

Variance (échantillon)

$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$

Correction de Bessel : diviser par $n-1$ .

Écart-type

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Racine carrée de la variance — mêmes unités que les données.

Étendue

$R = x_{\max} - x_{\min}$

La mesure de dispersion la plus simple.

Règles de probabilité

Règle d'addition

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Probabilité de A ou B (inclusion-exclusion).

Règle de multiplication

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Probabilité de A et B ; se réduit au produit si indépendants.

Probabilité conditionnelle

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Probabilité de B sachant que A est survenu.

Théorème de Bayes

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Inverse les probabilités conditionnelles — tests diagnostiques, apprentissage automatique.

Indépendance

$P(A \cap B) = P(A) P(B)$

Vrai si et seulement si $A$ et $B$ sont indépendants.

Dénombrement

Permutations

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

L'ordre compte : arranger $r$ parmi $n$ .

Combinaisons

$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

L'ordre n'a pas d'importance : choisir $r$ parmi $n$ .

Lois discrètes

Loi binomiale (fonction de masse)

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$k$ succès en $n$ essais indépendants avec probabilité de succès $p$ .

Espérance binomiale

$\mu = np$

Nombre attendu de succès.

Variance binomiale

$\sigma^2 = np(1-p)$

Dispersion de la loi binomiale.

Loi de Poisson (fonction de masse)

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Comptage d'événements rares avec taux moyen $\lambda$ .

Loi normale

Densité de probabilité

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigl(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigr)$

Courbe en cloche, moyenne $\mu$ , écart-type $\sigma$ .

Score Z

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Standardiser pour comparer entre distributions.

Loi normale centrée réduite

$Z \sim N(0, 1)$

Après la transformation en score Z.

Règle 68-95-99,7

$P(|X - \mu| < k\sigma):\ 0.68,\ 0.95,\ 0.997$

Pour $k = 1, 2, 3$ — valable uniquement pour des données normales.

Statistiques inférentielles

Erreur standard de la moyenne

$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$

Écart-type de $\bar{x}$ comme estimateur.

Intervalle de confiance (moyenne, $\sigma$ connu)

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$z_{\alpha/2} = 1.96$ pour un IC à 95 %.

Statistique t (un échantillon)

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

Tester moyenne = $\mu_0$ quand $\sigma$ est inconnu.

Statistique du khi-deux

$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Test d'ajustement / d'indépendance pour données catégorielles.

Régression linéaire

Pente

$b_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

Pente du meilleur ajustement (moindres carrés).

Ordonnée à l’origine

$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$

Force la droite à passer par $(\bar{x}, \bar{y})$ .

Corrélation de Pearson

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$

Force et sens de la relation linéaire, $r \in [-1, 1]$ .

Coefficient de détermination

$R^2 = r^2$

Fraction de la variance de $y$ expliquée par $x$ .

Statistiques Formulas