La série de Taylor expliquée : approcher n'importe quelle fonction par des polynômes

Si les dérivées capturent la pente d'une fonction en un point, les séries de Taylor capturent la fonction entière en un point — en empilant un nombre infini de dérivées. Elles sont le pont entre le calcul différentiel et le calcul numérique : chaque fois que votre calculatrice évalue $\sin(0,4)$, elle additionne une série de Taylor en coulisses.

La formule de la série de Taylor

La série de Taylor d'une fonction $f$ centrée en $x = a$ est :

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

Autrement dit : évaluez $f$, $f'$, $f''$, $f'''$, … au point $a$, puis construisez un polynôme dont le $n$-ième terme est $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

Lorsque $a = 0$, la série est appelée série de Maclaurin — le cas le plus courant.

Pourquoi cela fonctionne-t-il ?

Autour du point $a$, une fonction ressemble à sa tangente (terme $n=1$), puis à une parabole intégrant la courbure ($n=2$), puis à une cubique, et ainsi de suite. Chaque dérivée d'ordre supérieur capture une information de forme plus fine. Additionnez-en une infinité et (pour les fonctions « gentilles ») vous retrouvez $f$ exactement.

Trois développements de Maclaurin classiques

Mémorisez ces trois-là — ils apparaissent constamment :

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

La série de l'exponentielle contient toutes les puissances ; le sinus n'a que des puissances impaires ; le cosinus n'a que des puissances paires. Cette symétrie est une conséquence directe du fait de savoir quelles dérivées s'annulent en $0$.

Exemple résolu : construire $\sin x$ à partir de zéro

Soit $f(x) = \sin x$. En $a = 0$ :

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• Le motif se répète toutes les 4 dérivées.

Reportez dans la formule de Taylor :
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
ce qui se simplifie en $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$. Identique à la formule ci-dessus.

L'approximation en pratique

Pour un petit $x$ proche de 0, même les premiers termes sont extrêmement précis :

• $\sin(0,1) \approx 0,1 - 0,001/6 \approx 0,09983$ (valeur exacte : $0,0998334\dots$).

C'est pourquoi l'approximation des petits angles $\sin x \approx x$ est valable : le terme suivant est minuscule lorsque $x$ est petit.

Convergence — quand est-elle réellement égale à $f$ ?

Les séries de Taylor ont un rayon de convergence $R$. Pour $|x - a| < R$, la série est égale à $f(x)$ ; en dehors, la série diverge. Certaines fonctions ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) ont $R = \infty$. D'autres, comme $1/(1-x)$ centrée en 0, ont $R = 1$.

Erreurs fréquentes

• Oublier les dénominateurs factoriels $n!$.
• Confondre les développements en série — sin a les impaires, cos les paires, $e^x$ toutes.
• Supposer la convergence sans vérifier le rayon.

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Utilisez la calculatrice de séries pour calculer les développements de Taylor de n'importe quelle fonction — elle montre les étapes de dérivation, le polynôme obtenu et une vérification numérique.

Liens connexes :

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