Permutation vs combinaison

Les permutations et les combinaisons semblent presque identiques jusqu'à ce que vous posiez une question : l'ordre compte-t-il ? Trompez-vous là-dessus et votre réponse de probabilité sera fausse d'un facteur $r!$ ou plus. Voici la distinction nette avec des exemples résolus.

La question centrale : l'ordre compte-t-il ?

• Oui, l'ordre compte → permutation. Choisir la 1re / 2e / 3e place parmi 10 coureurs.
• Non, l'ordre ne compte pas → combinaison. Choisir un comité de 5 personnes parmi 20.

Les mêmes 10 candidats peuvent donner des réponses différentes selon que les rôles sont distincts ou non.

Les formules

Pour $n$ éléments, en choisir $r$ :

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Remarquez que la combinaison est la permutation divisée par $r!$ — ce $r!$ supprime les ordonnancements des éléments choisis, puisque les combinaisons ne se soucient pas de l'ordre.

Exemples résolus

Permutation : podium de course

Dix coureurs, trois places médaillées (or, argent, bronze). L'ordre compte — or ≠ argent.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Combinaison : numéros de loterie

Choisissez 6 numéros parmi 49 — l'ordre sur votre billet n'a pas d'importance.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Mêmes nombres, réponse différente

Choisissez 3 lettres parmi {A, B, C, D}.

• Comme permutation (mots de passe de 3 lettres) : $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... toutes distinctes.
• Comme combinaison (juste choisir 3 lettres) : $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

Le facteur $3! = 6$ entre elles est exactement le $r!$ de la formule.

Raccourci de décision

En cas de doute, demandez : « Si j'échange deux de mes éléments choisis, le résultat est-il différent ? »

• Oui → permutation
• Non → combinaison

Choisir un capitaine et un vice-capitaine → échanger change qui est capitaine → permutation.
Choisir 2 personnes pour un duo → échanger donne le même duo → combinaison.

Erreurs courantes

• Mélanger les deux quand une probabilité est en jeu. Le dénominateur (total des issues) et le numérateur (issues favorables) doivent utiliser la même méthode de comptage.
• Oublier le diviseur $r!$. Si vous calculez des permutations alors que vous vouliez des combinaisons, vous surcomptez d'un facteur $r!$.
• Éléments distinguables vs indistinguables. Si certains éléments sont identiques (ex. : 5 boules rouges et 3 bleues), aucune formule simple ne s'applique — il vous faut le coefficient multinomial $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

Essayez vous-même

Utilisez notre calculatrice de probabilité pour calculer permutations et combinaisons, et les appliquer à de vrais problèmes de probabilité, l'IA vous guidant à chaque étape.