Compléter le carré : une explication qui finit enfin par faire tilt

Compléter le carré est l'un de ces gestes d'algèbre que les élèves voient une fois puis oublient. Pourtant, c'est l'unique technique derrière la formule quadratique, la forme canonique d'une parabole et plusieurs intégrales du calcul courantes. Une fois l'astuce intériorisée, vous disposez d'un outil que vous utiliserez pour toujours.

L'idée centrale

Le binôme au carré $(x + h)^2$ se développe en $x^2 + 2hx + h^2$. Pour transformer n'importe quelle expression $x^2 + bx$ en carré parfait, vous devez ajouter $\left(\frac{b}{2}\right)^2$. C'est toute l'astuce.

Exemple résolu : cas unitaire

Complétez le carré de $x^2 + 6x + 5$.

1. Prenez la moitié du coefficient linéaire : $b/2 = 3$.
2. Élevez-la au carré : $9$.
3. Réécrivez : $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.

Nous avons ajouté 9 et soustrait 9 — bilan nul, mais les trois premiers termes forment désormais un carré parfait.

Exemple résolu : cas non unitaire

Complétez le carré de $2x^2 + 12x + 7$.

1. Mettez 2 en facteur dans les deux premiers termes : $2(x^2 + 6x) + 7$.
2. À l'intérieur de la parenthèse, complétez le carré : $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$.
3. Reportez : $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$.

Application 1 : résoudre des équations du second degré

Pour résoudre $x^2 + 6x + 5 = 0$ :
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$.

Même réponse que la formule quadratique, redémontrée à partir de zéro.

Application 2 : sommet d'une parabole

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ est sous forme canonique $y = a(x - h)^2 + k$. Le sommet est en $(h, k) = (-3, -11)$, ouverte vers le haut (puisque $a > 0$). Vous pouvez le lire sans recourir au calcul différentiel.

Application 3 : intégration

Des intégrales comme $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ résistent à une attaque directe mais cèdent à la complétion du carré : $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$, puis on substitue $u = x + 2$ pour reconnaître un arctangente.

Erreurs courantes

• Oublier de soustraire ce que l'on a ajouté — l'expression doit rester égale à elle-même.
• Ne pas mettre en facteur le coefficient dominant d'abord dans les cas non unitaires.
• Diviser par deux le mauvais coefficient — c'est le coefficient linéaire $b$, pas le coefficient dominant $a$.

Essayez avec le solveur quadratique IA

Le solveur quadratique montre l'approche par complétion du carré côte à côte avec la formule quadratique.

Références connexes :

• Calculateur de factorisation — le chemin alternatif vers les racines
• Solveur d'équations — boîte à outils plus large pour résoudre des équations
• Calculateur d'intégrales — pour l'application au calcul ci-dessus