Calculadora de puntuación z

Una puntuación z (también llamada puntuación estándar) mide a cuántas desviaciones estándar de la media está un valor:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

donde $x$ es el valor bruto, $\mu$ es la media poblacional y $\sigma$ es la desviación estándar poblacional.

Interpretación:

• $z = 0$: el valor es igual a la media.
• $z = 1$: una desviación estándar por encima de la media.
• $z = -2$: dos desviaciones estándar por debajo de la media.
• $|z| > 2$ se considera convencionalmente 'inusual'; $|z| > 3$ es 'extremo'.

¿Por qué estandarizar?

• Comparabilidad: las puntuaciones z permiten comparar valores de distribuciones diferentes (p. ej., un $z = 1.5$ en un examen de matemáticas del SAT frente a un $z = 1.5$ en uno de comprensión verbal significa el mismo rendimiento relativo).
• Búsqueda de probabilidades: si la distribución subyacente es aproximadamente normal, $z$ se asigna directamente a una probabilidad a través de la función de distribución normal estándar $\Phi(z)$.
• Detección de valores atípicos: un $|z|$ grande señala posibles valores atípicos.

Versión muestral: al trabajar con datos muestrales, reemplaza $\mu$ por $\bar{x}$ y $\sigma$ por $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Paso a paso

1. Identifica el valor $x$, la media $\mu$ (o $\bar{x}$) y la desviación estándar $\sigma$ (o $s$).
2. Resta la media: $x - \mu$.
3. Divide entre la desviación estándar: $z = (x - \mu)/\sigma$.

Inverso: hallar $x$ a partir de $z$

$x = \mu + z\sigma$

Útil cuando se da un percentil y se pide el valor bruto correspondiente.

Probabilidad mediante la normal estándar

Para una variable con distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, la variable estandarizada $Z = (X - \mu)/\sigma$ sigue la normal estándar $N(0, 1)$.

Probabilidades comunes:

Simetría: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

Regla empírica (68-95-99.7)

Para una distribución normal:

• ~68% de los valores caen dentro de $\pm 1\sigma$ de la media.
• ~95% dentro de $\pm 2\sigma$.
• ~99.7% dentro de $\pm 3\sigma$.

Esta es la base de los intervalos de confianza y de muchas estimaciones rápidas.

Valores z críticos para intervalos de confianza

Estos son los valores $z^*$ tales que $P(-z^* < Z < z^*) =$ nivel de confianza.

• Orden incorrecto: $z = (x - \mu)/\sigma$, no $(\mu - x)/\sigma$. Poner la media en segundo lugar invierte el signo.
• Usar la varianza en lugar de la desviación estándar: divide entre $\sigma$, no entre $\sigma^2$. Un valor 'a una varianza de distancia' no tiene sentido: quieres una desviación estándar.
• Muestra frente a población: con datos muestrales, usa $\bar{x}$ y $s$. Con parámetros conocidos, usa $\mu$ y $\sigma$. Confundirlos infla o desinfla las puntuaciones z.
• Suponer normalidad sin comprobarla: las puntuaciones z se pueden calcular para cualquier distribución, pero la búsqueda de probabilidad $\Phi(z)$ solo aplica si la distribución subyacente es normal (o aproximadamente normal por el TCL).
• Olvidar el signo: $z = -2$ significa 'por debajo de la media'. Informar de $z = 2$ tergiversa la dirección.
• Confundir probabilidades de una cola y de dos colas: $P(|Z| > 2)$ son ambas colas combinadas ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ es una cola ($\approx 0.0228$). Lee la pregunta con atención.