Calculadora de forma pendiente-ordenada

La forma pendiente-ordenada al origen de una ecuación lineal en dos variables es:

$y = mx + b$

donde:

• $m$ es la pendiente: cuán pronunciadamente sube o baja la recta. Pendiente $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$.
• $b$ es la ordenada al origen: el valor de $y$ donde la recta cruza el eje y (el punto $(0, b)$).

Por qué esta forma es especial: deja leer dos datos geométricos de un vistazo —la pendiente y la ordenada al origen— sin ningún cálculo. En cambio, la forma estándar $Ax + By = C$ oculta ambos.

La forma pendiente-ordenada es la forma de trabajo preferida para graficar rectas, comparar relaciones de paralelismo/perpendicularidad y escribir ecuaciones a partir de una descripción.

Caso 1: A partir de una ecuación en forma estándar

Dada $Ax + By = C$, despeja $y$:

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

Así $m = -A/B$ y $b = C/B$.

Caso 2: A partir de dos puntos

Dados $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Luego usa uno de los puntos para despejar $b$:

$b = y_1 - m x_1$

Caso 3: A partir de la pendiente y un punto

Dada la pendiente $m$ y un punto $(x_0, y_0)$:

$b = y_0 - m x_0$

Caso 4: A partir de una gráfica

Lee la ordenada al origen directamente donde la recta cruza el eje y. Elige otro punto de la cuadrícula y cuenta $\text{rise} / \text{run}$ para hallar $m$.

Casos especiales

• Recta horizontal $y = c$: pendiente $m = 0$, ordenada al origen $b = c$.
• Recta vertical $x = c$: la pendiente es indefinida. No se puede escribir como $y = mx + b$.

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas $y = m_1 x + b_1$ y $y = m_2 x + b_2$ son:

• Paralelas si y solo si $m_1 = m_2$ (misma pendiente, distintas ordenadas)
• Perpendiculares si y solo si $m_1 m_2 = -1$ (pendientes recíprocas y opuestas)

• Errores de signo en la pendiente: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$. Resta las $y$ en el mismo orden que las $x$. Invertir una pero no la otra cambia el signo.
• Dividir por cero: Si $x_1 = x_2$, la recta es vertical: pendiente indefinida, no existe forma pendiente-ordenada.
• Confundir ordenada al origen con abscisa al origen: $b$ es la ordenada al origen. La abscisa al origen se halla poniendo $y = 0$ y despejando $x$.
• Olvidar dividir entre $B$: Al convertir $Ax + By = C$ a la forma pendiente-ordenada, debes dividir cada término entre $B$, no solo el término en $y$.
• Pendiente perpendicular incorrecta: Perpendicular significa $m_1 m_2 = -1$, así que $m_2 = -1/m_1$. Solo cambiar el signo o solo invertir no basta.