Resuelve para x: 1000 = (35)(0.02)(x − 293.15) + (0.6)(5.67e−8)(0.02)(x⁴ − 293.15⁴).

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupa las constantes en dos coeficientes. Reúne los factores de convección y los de radiación:

   $35 \times 0.02 = 0.7, \qquad 0.6 \times 5.67\times10^{-8} \times 0.02 = 6.804\times10^{-10}$

   de modo que la ecuación queda

   $1000 = 0.7\,(x - 293.15) + 6.804\times10^{-10}\left(x^4 - 293.15^4\right)$

2. 2

   Desarrolla hasta obtener una cuártica en forma estándar. Con $293.15^4 = 7.38515\times10^{9}$, las dos aportaciones constantes son $0.7 \times 293.15 = 205.205$ y $6.804\times10^{-10} \times 7.38515\times10^{9} = 5.0249$:

   $6.804\times10^{-10}\,x^4 + 0.7x - 1210.23 = 0$

3. 3

   No te quedes en la estimación lineal: ahí está la trampa. Ignorar el término cuártico da

   $x \approx \frac{1210.23}{0.7} \approx 1728.9$

   pero al sustituir ese valor se ve por qué falla: $6.804\times10^{-10}(1728.9)^4 \approx 6079\ \text{W}$, seis veces la carga térmica completa. A esa temperatura el término de radiación es dominante, no despreciable, así que $1728.9\ \text{K}$ queda muy alto.

4. 4

   Resuelve la cuártica numéricamente. El miembro izquierdo es estrictamente creciente en $x$ para $x > 0$ (crecen tanto $0.7x$ como $x^4$), así que hay exactamente una raíz física y la bisección converge con seguridad. Acotando entre $300$ y $5000$ y bisecando se obtiene

   $x \approx 947.04\ \text{K}$

5. 5

   Comprueba la raíz separando los dos mecanismos de pérdida. Para $x = 947.04\ \text{K}$:

   $\text{convección} = 0.7(947.04 - 293.15) = 457.7\ \text{W}$

   $\text{radiación} = 6.804\times10^{-10}\left(947.04^4 - 293.15^4\right) = 542.3\ \text{W}$

   y $457.7 + 542.3 = 1000.0\ \text{W}$, que coincide con la pérdida de calor exigida. La radiación se lleva el $54\%$ de la carga, lo que confirma que nunca se la podría haber descartado.

6. 6

   Enuncia la respuesta con su lectura física.

   $x \approx 947\ \text{K} \ (\approx 674\ ^\circ\text{C})$

   La lección general: siempre que un balance mezcle un término lineal de convección con un término de radiación en $T^4$, hay que resolver la cuártica, porque la radiación crece tan deprisa que adelanta a la convección mucho antes de que la sobretemperatura llegue a unos cientos de kelvin.