Un laminado unidireccional de fibra de carbono y epoxi tiene fracción volumétrica de fibra 0.66 y de matriz 0.34, con módulo de la fibra 340 GPa, módulo de la matriz 3.05 GPa, resistencia de la fibra 3648 MPa y resistencia de la matriz 60 MPa. Usando la regla de las mezclas, halla la rigidez longitudinal y la resistencia a tracción cuando la carga es paralela a las fibras.

Step-by-step solution

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   Entender por qué aquí un promedio ponderado simple es legítimo. Cargar en paralelo a las fibras somete a la fibra y a la matriz a la misma deformación (la hipótesis de isodeformación, o de Voigt). Cada fase aporta entonces fuerza en proporción a su propia rigidez y a la fracción de la sección transversal que ocupa, que es justamente lo que codifica la regla de las mezclas:

   $E_{11}=V_fE_f+V_mE_m$

   Si en cambio el laminado se carga transversalmente, esta fórmula falla: haría falta la regla de las mezclas inversa.

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   Verificar que las fracciones volumétricas suman 1. $V_f+V_m=0.66+0.34=1.00$. Si no fuera así, habría que recalcular una de ellas a partir de las fracciones másicas y las densidades antes de seguir adelante.

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   Calcular la rigidez longitudinal.

   $E_{11}=(0.66)(340)+(0.34)(3.05)=224.4+1.037=225.437\ \text{GPa}$

   Redondeando a un decimal, $E_{11}=225.4\ \text{GPa}$. Nótese que la resina aporta alrededor de $1$ GPa de un total de $225$, menos del $0.5\%$. En una dirección dominada por la fibra, la matriz es esencialmente solo pegamento.

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   Calcular la resistencia longitudinal del mismo modo. El mismo razonamiento de isodeformación da

   $\sigma_{11}=V_f\sigma_f+V_m\sigma_m=(0.66)(3648)+(0.34)(60)=2407.68+20.4=2428.08\ \text{MPa}$

   así que $\sigma_{11}=2428.1\ \text{MPa}$.

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   Revisar los órdenes de magnitud y las unidades. Ambos resultados deben quedar entre el valor de la matriz y el de la fibra, y así ocurre ($3.05<225.4<340$ GPa; $60<2428.1<3648$ MPa), cerca del extremo de la fibra porque $V_f$ es alto. Hay que mantener GPa con GPa y MPa con MPa: mezclarlos por un factor de $1000$ es el error clásico de este cálculo.