Un automóvil recorre la primera mitad de una ruta recta a 50 km/h constantes y la segunda mitad a 60 km/h constantes. Halla la velocidad media de todo el recorrido.

Step-by-step solution

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   Parte de la definición, no de la intuición. La velocidad media es siempre

   $v_{\text{media}}=\frac{\text{distancia total}}{\text{tiempo total}}$

   No es el promedio de las dos velocidades. Promediar $50$ y $60$ para obtener $55$ da por supuesto en silencio que el automóvil pasa el mismo tiempo a cada velocidad, pero aquí recorre la misma distancia, y tarda más en la mitad lenta, lo que arrastra la media hacia abajo.

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   Dale nombre a la distancia para que pueda cancelarse. Sea $d$ cada mitad, de modo que la distancia total es $2d$. El tiempo de cada mitad es la distancia entre la velocidad:

   $t_1=\frac{d}{50},\qquad t_2=\frac{d}{60}$

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   Suma los tiempos con común denominador.

   $t_1+t_2=\frac{d}{50}+\frac{d}{60}=d\left(\frac{6}{300}+\frac{5}{300}\right)=\frac{11d}{300}$

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   Divide la distancia total entre el tiempo total.

   $v_{\text{media}}=\frac{2d}{\dfrac{11d}{300}}=2d\cdot\frac{300}{11d}=\frac{600}{11}\approx54.5\ \text{km/h}$

   La incógnita $d$ se cancela, y por eso la respuesta no depende de lo larga que sea la carretera.

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   Reconoce la fórmula general. Repetir el álgebra con símbolos da la media armónica de las dos velocidades:

   $v_{\text{media}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2(50)(60)}{50+60}=\frac{6000}{110}=54.\overline{54}\ \text{km/h}$

   La media armónica es siempre menor que la media aritmética salvo que las dos velocidades sean iguales, así que un resultado algo por debajo de $55$ es la comprobación de coherencia que viene incorporada.

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   Pruébala con un número concreto. Toma cada mitad igual a $300\ \text{km}$: la primera mitad lleva $6$ h y la segunda, $5$ h, así que son $600\ \text{km}$ en $11$ h, lo que da $600/11\approx54.5\ \text{km/h}$, exactamente la respuesta de la fórmula.