Calcula t = (1/3.6) por la integral de 0 a 7.07 de (1.1 × 9.13) / (10.752 − 9.13 × 9.8 × 0.01 − (0.04985 × 0.2032 × v²)/21.15) dv.

Step-by-step solution

1. 1

   Reduce todas las constantes antes de hacer nada de cálculo. El integrando solo parece temible porque las constantes están sin multiplicar. Numerador:

   $1.1\times 9.13=10.043$

   Parte constante del denominador:

   $10.752-9.13\times 9.8\times 0.01=10.752-0.89474=9.85726$

   Coeficiente de $v^{2}$:

   $\frac{0.04985\times 0.2032}{21.15}=\frac{0.01012952}{21.15}=4.78937\times 10^{-4}$

2. 2

   Reescríbelo en una forma estándar reconocible.

   $t=\frac{10.043}{3.6}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{9.85726-4.78937\times 10^{-4}v^{2}}$

   Saca como factor el coeficiente de $v^{2}$ del denominador para dejar a la vista la forma de diferencia de cuadrados:

   $=\frac{10.043}{3.6\left(4.78937\times 10^{-4}\right)}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}},\qquad a=\sqrt{\frac{9.85726}{4.78937\times 10^{-4}}}=143.463$

3. 3

   Usa la primitiva logarítmica. Las fracciones parciales dan

   $\int\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+v}{a-v}\right|+C$

   (equivalentemente, $\tfrac1a\operatorname{artanh}\tfrac va$). El límite superior $7.07$ está muy por debajo de $a=143.463$, así que $a^{2}-v^{2}>0$ en todo el recorrido y el integrando nunca se dispara.

4. 4

   Evalúa la integral definida.

   $\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2(143.463)}\ln\frac{143.463+7.07}{143.463-7.07}=\frac{\ln(1.10367)}{286.926}=3.4379\times 10^{-4}$

5. 5

   Multiplica por la constante que va delante.

   $\frac{10.043}{4.78937\times 10^{-4}}\times 3.4379\times 10^{-4}=20969\times 3.4379\times 10^{-4}=7.2091$

   así que la integral en sí vale $7.2091$, y

   $t=\frac{7.2091}{3.6}=2.0025$

   $\boxed{t\approx 2.00\ \text{s}}$

6. 6

   Contrasta con la estimación de integrando constante. Como $v$ nunca pasa de $7.07$ mientras que $a=143.5$, el término en $v^{2}$ desplaza el denominador a lo sumo $4.79\times 10^{-4}(7.07)^{2}=0.0239$ sobre $9.857$, es decir, alrededor del $0.24\%$. Tratando el integrando como la constante $\tfrac{10.043}{9.85726}=1.01885$ se obtiene $t\approx\tfrac{1.01885\times 7.07}{3.6}=2.0009$ s, dentro del $0.1\%$ del valor exacto $2.0025$ s ✓.