Un cartel mide 64 cm por 36 cm y se quiere cortar en cuadrados idénticos sin que sobre material. ¿Cuál es el mayor lado posible de los cuadrados y cuál es el menor número de cuadrados?

Step-by-step solution

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   Traducir “que no sobre nada” a una condición de divisibilidad. Si el cuadrado tiene lado $s$, entonces deben caber cuadrados enteros a lo largo de los dos bordes, así que tanto $64$ como $36$ deben ser múltiplos enteros de $s$:

   $s\mid 64\quad\text{y}\quad s\mid 36$

   Dicho de otro modo, $s$ es un divisor común de $64$ y $36$, y el mayor $s$ admisible es su máximo común divisor. En eso consiste todo el problema: la geometría solo aporta la divisibilidad.

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   Hallar el MCD por descomposición en factores primos.

   $64=2^6,\qquad 36=2^2\times3^2$

   El MCD toma cada primo compartido elevado al menor de los dos exponentes. El primo $3$ solo aparece en $36$, así que no aporta nada; el primo $2$ aparece con exponentes $6$ y $2$, así que aporta $2^2$:

   $\gcd(64,36)=2^2=4$

   Así que el mayor cuadrado tiene lado $4$ cm. (El algoritmo de Euclides da el mismo resultado más rápido: $64=1\cdot36+28$, $36=1\cdot28+8$, $28=3\cdot8+4$, $8=2\cdot4+0$, así que el último resto no nulo es $4$.)

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   Contar los cuadrados a lo largo de cada borde.

   $\frac{64}{4}=16\ \text{cuadrados a lo largo},\qquad \frac{36}{4}=9\ \text{cuadrados a lo ancho}$

   Ambas divisiones son exactas, lo que confirma que el recubrimiento funciona de verdad y no deja recortes.

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   Multiplicar para obtener el número de cuadrados.

   $16\times9=144\ \text{cuadrados}$

   Se contrasta con las áreas: el cartel mide $64\times36=2304$ cm² y cada cuadrado $4\times4=16$ cm², y $2304\div16=144$. ✓ Los dos recuentos deben coincidir porque las piezas cubren exactamente la lámina.

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   Explicar por qué el cuadrado más grande da menos cuadrados. El número de piezas es $\dfrac{2304}{s^2}$, que disminuye a medida que crece $s$. Así que maximizar el lado y minimizar el número de piezas son la misma pregunta hecha dos veces: las dos partes del problema se responden con el único número $\gcd(64,36)=4$. Cualquier divisor común menor también sirve, pero desperdicia cortes: $s=2$ da $576$ cuadrados y $s=1$ da $2304$.