Calculadora de la fórmula del punto medio

La fórmula del punto medio halla el punto que está exactamente a mitad de camino entre dos puntos dados. Es simplemente el promedio de las coordenadas:

Forma 2D — para los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Forma 3D — para los puntos $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

Por qué funciona promediar: el punto medio divide el segmento en una razón $1:1$, y las coordenadas de cualquier punto del segmento son promedios ponderados de los extremos. Con pesos iguales ($1/2$ cada uno), obtienes la media aritmética simple.

La fórmula del punto medio aparece constantemente en geometría analítica: hallar el centro de un círculo a partir de su diámetro, el baricentro de un triángulo, paralelogramos, mediatrices y cualquier problema que implique 'a mitad de camino entre'.

Paso a paso

1. Identifica los dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$.
2. Promedia las coordenadas x: $\frac{x_1 + x_2}{2}$.
3. Promedia las coordenadas y: $\frac{y_1 + y_2}{2}$.
4. Combina en el punto medio $(M_x, M_y)$.

Sin restas, sin cuadrados, sin raíces: mucho más simple que la fórmula de la distancia.

Problema inverso: hallar un extremo a partir del punto medio

Si $M = (M_x, M_y)$ es el punto medio de $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, puedes despejar cualquier extremo:

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

Duplica el punto medio, resta el extremo conocido.

Generalización: fórmula de la sección

Para un punto que divide un segmento en la razón $m : n$ (no solo $1:1$):

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

La fórmula del punto medio es el caso especial $m = n = 1$.

Aplicaciones geométricas

• Centro de un círculo a partir de los extremos del diámetro: simplemente el punto medio.
• Baricentro de un triángulo: promedio de las coordenadas de los tres vértices (generaliza el punto medio a 3 puntos).
• Mediatriz: una recta que pasa por el punto medio perpendicular al segmento original.
• Diagonales de un paralelogramo: los puntos medios de ambas diagonales coinciden; útil para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.

• Restar en lugar de sumar: el punto medio promedia — $\frac{x_1 + x_2}{2}$, no $\frac{x_2 - x_1}{2}$. La resta pertenece a la fórmula de la distancia.
• Olvidar dividir cada coordenada: el divisor 2 se aplica por separado a la suma de las x y a la suma de las y. No es una única división al final.
• Errores de signo con coordenadas negativas: $\frac{-3 + 7}{2} = 2$, no $-2$ ni $5$. Suma con cuidado.
• Mezclar las fórmulas del punto medio y de la pendiente: el punto medio promedia, la pendiente resta. Se parecen, pero responden a preguntas distintas.
• Olvidar actualizar para 3D: si tu problema es en 3D, incluye el promedio de z. Si es 2D, no añadas una z fantasma.