A los 21 años Mia empieza a depositar 700 dólares cada trimestre en una cuenta que rinde 7.2% anual con capitalización trimestral. Al cabo de 20 años, ¿cuánto depositó ella y cuánto son intereses?

Step-by-step solution

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   Convierte la tasa anual en tasa trimestral y cuenta los periodos. La capitalización trimestral significa cuatro periodos al año:

   $i = \frac{0.072}{4} = 0.018, \qquad n = 4 \times 20 = 80$

   Aquí la tasa es exacta, sin decimal periódico, lo que elimina una fuente de error de redondeo.

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   Halla lo que Mia aporta de su bolsillo. Esta parte no necesita intereses en absoluto: es simplemente el pago multiplicado por la cantidad de pagos.

   $700 \times 80 = \$56{,}000$

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   Calcula el factor de acumulación.

   $(1.018)^{80} = 4.16698791$

   Usar en su lugar $4.158880$ —un error en el tercer decimal— subestima el saldo final en más de \300$.

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   Evalúa el valor futuro.

   $FV = 700 \cdot \frac{(1.018)^{80} - 1}{0.018} = 700 \times \frac{3.16698791}{0.018} = 700 \times 175.943773 = \$123{,}160.64$

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   Resta para aislar los intereses.

   $123160.64 - 56000 = \$67{,}160.64$

   Los intereses son el $54.5\%$ del saldo final: en un horizonte de $20$ años al $7.2\%$, la capitalización aporta más que el propio ahorrador.

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   Comprueba con una cota aproximada. Si cada dólar hubiera estado invertido los $20$ años completos, el saldo sería 56000 \times 4.16699 = \233{,}351$; si ninguno hubiera ganado intereses, sería$$56{,}000$. Los$$123{,}160.64$ calculados quedan en medio, lo que es coherente con un horizonte medio de inversión de aproximadamente la mitad del plazo.