James deposita una cantidad mensual fija en una anualidad para acumular un valor futuro de 85,000 dólares en 17 años con una tasa anual del 3.8% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto habrá depositado en total y cuánto son intereses?

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la fórmula del valor futuro de una anualidad ordinaria. Los depósitos se hacen al final de cada periodo, así que

   $FV = PMT \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

   con $i = \tfrac{0.038}{12} = 0.0031666667$ (la tasa mensual) y $n = 17 \times 12 = 204$ (el número de depósitos).

2. 2

   Calcula el factor de acumulación con cuidado. Este es el paso que decide la precisión de todo lo demás:

   $(1.0031666667)^{204} = 1.90594762$

   Arrastrar aquí solo cuatro decimales (por ejemplo $1.9064$) desplaza el total depositado en decenas de dólares, y por eso el problema pide al menos seis cifras decimales en los cálculos intermedios.

3. 3

   Despeja el depósito mensual.

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1} = 85000 \times \frac{0.0031666667}{0.90594762} = \$297.11$

4. 4

   Suma todos los depósitos. James hace $204$ pagos de \297.11$:

   $297.11 \times 204 = \$60{,}610.44$

5. 5

   Obtén los intereses por resta. Todo lo que hay en la cuenta y que James no depositó son intereses:

   $85000 - 60610.44 = \$24{,}389.56$

   Así que alrededor del $28.7\%$ del saldo final proviene de la capitalización.

6. 6

   Comprueba el resultado hacia adelante. Haciendo crecer \297.11$al mes durante$204$meses a la tasa$0.0031666667$:$297.11 \times \tfrac{0.90594762}{0.0031666667} = 297.11 \times 286.08872 = $85{,}002.95$; redondear$PMT$hacia arriba en$0.0106$en cada pago de$PMT$ explica ese pequeño exceso.