El monto total pagado por un préstamo a 20 años fue de 5,800 dólares. Si la tasa de interés era del 6.6 por ciento con capitalización mensual, ¿cuál era el capital?

Step-by-step solution

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   Elige la fórmula que liga el «monto pagado» con el «capital». Una suma única que crece a una tasa periódica fija obedece la ley del interés compuesto

   $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

   Todo salvo $P$ está dado, así que esta es una ecuación con una sola incógnita; no hace falta ninguna fórmula de anualidades, porque el problema describe un único pago final, no una serie de pagos.

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   Convierte la tasa anual declarada en una tasa periódica y un número de periodos. Con $r=0.066$ y $n=12$ periodos de capitalización al año,

   $i=\frac{0.066}{12}=0.0055,\qquad N=nt=12\times 20=240$

   El $6.6\%$ es una tasa anual nominal, así que hay que dividirla entre $12$ antes de poder usarla como base de la potencia.

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   Construye con cuidado el factor de crecimiento $(1.0055)^{240}$. Pasar por los logaritmos deja la aritmética verificable:

   $240\ln(1.0055)=240\times 0.00548492=1.3163808$
   $e^{1.3163808}=3.7299068$

   Así que el dinero se multiplica por $3.7299068$ a lo largo de los 240 meses. Un desliz que se ve con frecuencia es escribir este factor como $3.6521$; ese valor sencillamente es erróneo y sube el capital final en unos \34$.

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   Divide el monto final entre el factor de crecimiento. Reordenando $A=P(1+i)^N$ se obtiene

   $P=\frac{A}{(1+i)^N}=\frac{5800}{3.7299068}=1554.9986$

   Redondeado al centavo, el capital es \1{,}555.00$.

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   Como comprobación, vuelve a capitalizar $1{,}555.00$. Multiplicando de vuelta,

   $1555.00\times 3.7299068=5800.00$

   lo que reproduce el total dado, así que el descuento se hizo en la dirección correcta. En contraste, el factor incorrecto $3.6521$ habría devuelto 5800/3.6521=\1{,}588.13$, y capitalizar esa cantidad con el factor verdadero da$1588.13\times 3.7299068=$5{,}923.58$, y no$$5{,}800$: así es como se detecta el error sin necesidad de una segunda opinión.