Resuelve 120r = 10.1(1 − 1/(1 + r)^12) para r. Es la tasa de un préstamo de 120 amortizado con 12 pagos de 10.1.

Step-by-step solution

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   Reconoce la ecuación del valor actual de una anualidad. Dividir ambos lados entre $r$ recupera la forma estándar

   $120=10.1\cdot\frac{1-(1+r)^{-12}}{r},$

   es decir, capital $=$ pago $\times$ factor de anualidad con $n=12$. Identificar las finanzas que hay detrás del álgebra proporciona de inmediato una comprobación de sensatez que el álgebra pura no ofrece.

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   Estima la respuesta antes de calcularla. Los pagos totales son $12\times10.1=121.20$ frente a un capital de $120$, así que quien pide el préstamo paga apenas $1.20$ de interés en doce periodos, aproximadamente el $1\%$ del capital repartido a lo largo de todo un año de periodos. Por tanto la tasa debe ser una fracción pequeña del $1\%$ por periodo, y no algo cercano al $1\%$. Cualquier respuesta próxima al $0.9\%$ se puede rechazar a simple vista: con $r=0.00893$ el factor de anualidad valora el préstamo en solo $114.45$, no en $120$.

3. 3

   Plantea el problema de búsqueda de raíces. Define

   $f(r)=120r-10.1\left(1-(1+r)^{-12}\right).$

   Observa que $f(0)=0$ es una raíz trivial (con interés cero se anulan ambos lados), así que la raíz con significado es el otro cambio de signo. Al evaluar: $f(0.001)=-0.000416$ y $f(0.005)=+0.013244$, de modo que hay una raíz en $(0.001,0.005)$.

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   Biseca hasta la convergencia. Partir ese intervalo por la mitad repetidamente da

   $r=0.0015341499\ldots\approx0.0015341,$

   es decir, $0.15341\%$ por periodo. Un barrido en $(-0.5,1)$ no encuentra más cambios de signo, así que esta es la única solución con sentido económico.

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   Verifica mediante el factor de anualidad. Con $r=0.0015341499$,

   $\frac{1-(1+r)^{-12}}{r}=11.8811881,\qquad 10.1\times11.8811881=120.000000 ✓,$

   y en efecto $\frac{120}{10.1}=11.8811881$ ✓. Si los periodos son meses, la tasa nominal anual es $12r\approx1.84\%$ y la tasa efectiva anual es $(1+r)^{12}-1\approx1.857\%$.